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2.5线性变换与方阵
下面我们考虑一种特殊的线性算子，就是考虑算子的
定义域与像域是同一个线性空间的情形.
定义1.19由V到V的线性算子T:V→V称为V上的线性
变换.也就是说,线性变换是线性空间V到自身的线性算
子,它是线性算子中最基本、最简单和最常用的一种,
在V给定的基，它的矩阵表示是方阵.
我们有时也常常把线性变换称为线性算子.
定义1.20如果对于xV,恒有T(x)x,则称T为恒等变
换或单位变换，它的矩阵表示是单位矩阵I.
2021/7/102
对于线性变换的加法，零变换O有着特殊的地位，
它与任意线性变换T的和仍等于T:T+OT.对于每
个线性变换T,其负变换-T也是线性变换,且
T+(-T)O.
对于乘法，恒等变换I有着重要的作用，他与任意
线性变换T的乘积仍等于T:ITTIT.
线性空间V上的线性变换T称为可逆的，如果有V上
的线性变换G存在，使得TGGTI,我们就称G为
−1−1
T的逆变换，记作T.可以证明I,O,T都是线性变换.
2021/7/103
我们已经知道若确定了n维线性空间V的一组基底,则
线性变换T就与一个nn矩阵相对应.这种对应的重要
性表现在它保持运算，即有下面定理.
定理1.10设给定n维线性空间V上的一组基底，则V上
的线性变换T对应于一个nn矩阵,这种对应具有性质
(1)线性变换的和对应于矩阵的和；
（2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
(3)线性与数的乘积对应于矩阵与数的乘积；
(4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于
逆矩阵.
2021/7/104
不妨证明(2).设T,S是V上的线性变换,它们在n维线性空间
V的一组基底,,,下的矩阵表示分别是A,B,即
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T(,,,)(,,,)A
12n12n
S(,,,)(,,,)B
12n12n
由于(TS)(,,,)T[S(,,,)]
12n12n
T[(,,,)B][T(,,,)]B
12n12n
(,,,)AB.
12n
可知在基底,,,下，线性变换TS的矩阵表示是AB.同
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