2024年清华大学强基计划数学学科笔试真题试卷含答案.docxVIP

清华大学2024年强基计划数学学科试卷

考试时间2024年6月28日8:00-12:00

1．已知，则________．

2．已知，则下列选项中正确的有（）

A．B．C．D．

3．某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点．已知向左转了100次，则可能向右转了（）次。

A．96B．98C．104D．102

4．在平面直角坐标系内，，A（2，1），若的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为________．

5．已知，（，）．下列选项中正确的有（）

A．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立

B．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立

C．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立

D．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立

6．已知，，下列选项中正确的有（）．

A．B．C．D．

7．正整数，且，，满足这样条件的（a，b，c）的组数为（）．

A．60B．90C．75D．86

8．从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有（）．

A．进行4次这样的操作回到A的概率为B．进行2次这样的操作回到A的概率为

C．进行4次这样的操作回到A的概率为D．进行2次这样的操作回到A的概率为

9．圆周上，，…，七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公告点的概率是（）．

A．B．C．D．

10．，，…是一个1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一个大于（），则满足的排列的总数为________．

11．直线l：，p（，），Q（，），，下列选项中正确的有（）．

A．若，则l与射线PQ相交B．若，则l与射线PQ平行

C．若，则l与射线PQ垂直D．若x存在，则Q在l上

12．在中，，，P在内部，延长BP交AC于Q，且，则（）．

A．B．C．D．

13．几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下：

张三：甲是第4名；

李四：乙不是第2或第4名；

王五：丙排在乙前面；

刘六：丁是第1名

已知只有一个人说假话，下列正确的是（）．

A．丙是第1名B．丁是第2名C．乙是第3名D．甲是第4名

14．________．

15．已知，，使得的解的组数有（）组．

16．点集，则由S中的点可组成________个不同的三角形．

17．已知，，下列选项中正确的有（）．

A．B．C．是等比数列D．

18．已知复数，，则n的最小值为________．

19．已知一个正四面体边长为，P点满足，考虑，下列说法正确的有（）．

A．最小值为B．最大值为C．最小值为D．最大值为

20．已知（a，b，），则的最大值、最小值分别为________．

21．已知在（0，2）上三个不等实根，则的可能取值为________．

22．四面体中，，，，求CA与VB所成弦角的取值范围________．

23．已知，下列选项中正确的有（）．

A．两根，，且

B．两根，则

C．任意，函数都有最小值

D．任意，使得函数有最大值

24．是在[0，1]上的连续函数，设，则（）

A．B．C．D．

25．双曲线，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，．，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为________．

26．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A（，），B（，）两点，l过B且与抛物线在A处的切线平行，l交抛物线与另一点D（，），交y轴于E点，则下列选项中正确的有（）．

A．B．C．面积的最小值为16D．

27．所有极值点依次为，，…，则________．

28．，，有零点，则的最小值为________．

清华大学2024年强基计划数学学科试卷解析

1．【答案】，

【解析】∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴，，或，

∴，，或，

考虑周期性，只需要检验，，，，，，

经检验：，，，都符合，，，不符合，∴，

2．【答案】ACD

【解析】a为方程的解，b为方程的解，其中与lnx互为反函数，关于直线对称，函数也关于直线对称，所以点（a，），（b，lnb）关于直线对称

∴，∴，∴，但，不能取等号，

∴，C选项正确

∵，∴，∴，A选项正确，B选项错误，另外，D选项正确

3．【答案】AC

【解析】总体的路线形成一个多边形，如果出发点在多边形的边上，左转、右转的次数差一定是4