山东省泰安市新泰市第一中学东校2023-2024学年高二上学期冬季学科竞赛数学试题（解析版）.docxVIP

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新泰一中东校2023-2024高二上学期冬季学科竞赛

数学试题

一、单选题

1.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．

A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】A

【解析】

【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【详解】设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

2.若直线的斜率为1，则实数的值为（）

A.1或2 B.-1或-2 C.-1或2 D.1或-2

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线方程一般式与斜截式的互化即可求解.

【详解】该直线方程可以变形为,

由直线的斜率为1可得，解得或，

故选：.

3.数列满足，则数列的前2022项的乘积为（）

A. B. C. D.1

【答案】C

【解析】

【分析】根据递推公式求得数列的周期，结合数列的周期即可求得结果.

【详解】根据题意可得，

故该数列是以为周期的数列，且，

故数列的前2022项的乘积为.

故选：C.

4.如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案.

【详解】，

故，，，.

故选：A

5.年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，年投入资金万元，以后每年投入资金比上一年增加万元，从年开始每年投入资金比上一年增加，到年底该市生态环境建设投资总额大约为（）（其中，，）

A.万元 B.万元 C.万元 D.万元

【答案】B

【解析】

【分析】计算出年该市投入的资金，再利用等差数列和等比数列的求和可求得结果.

【详解】由题意可知，从年到年该市每年投入的资金成等差数列，且首项为，公差为（单位：万元），

则年该市投入的资金为（万元），

由题意知，从年开始，每年投入的资金成等比数列，且首项为（万元），

公比为，

因此，到年底该市生态环境建设投资总额约为（万元）.

故选：B.

6.设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：

①当时，点M的轨迹方程为；

②当时，点M的轨迹方程为

③当时，点M的轨迹方程为.

其中正确结论的个数为（）

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】B

【解析】

【分析】设,直线，的斜率之积，由直线，的斜率均存在，则，对三个命题进行逐一判断，即可得到答案.

【详解】设,由直线，的斜率均存在，则.

直线，的斜率之积.

当时，有

所以点M的轨迹方程为，所以①不正确.

当时,有，即.

所以点M的轨迹方程为，所以②正确.

当时,即，所以点M的轨迹方程为，所以③不正确.

故选：B

【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线斜率公式的应用，考查化简运算能力，属于基础题.

7.在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，，计算在的投影为，在根据勾股定理计算得到答案.

【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，则.

，，

故在的投影为，

点到线的距离为.

故选：D.

8.已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（）．

A.6 B.4 C.3 D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由题设直线，联立抛物线方程，利用韦达定理及条件可得，即得.

【详解】设直线，

联立，则，

则，．

由，，得P，Q分别为线段AF，BF的中点，

又，满足，，且，

∴，

解得．

故选：A．

二、多选题

9.设为数列的前项和.若，则（）

A. B.

C. D.数列为递减数列

【答案】CD

【解析】

【分析】根据求出数列的通项公式，进而求出前项和，然后结合选项逐项分析判断即可.

【详解】因为，

当时，，即；

当时，，即，因此，

则数列是以为首项，为公比的等比数列，

因此，故B错误；

，

所以，，故A错误；

，，，因此，故C正确；

当时，，即，因此数列为递减数列，故D正确；

故选：CD.

10.已知圆：，直线：，则（）

A.直线与圆的轨迹一定相交

B.直线与圆交