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问题:如图,已知菱形ABCD,E是BC边上一点,连接AE交BD于点F.当∠ABC=90°时,过点C作CG⊥AE交AE的延长线于点G,连接DG.求证:∠BDG=∠BAE.ABCDEFG图3
-隐圆大合集
“圆”来如此简单!
定远第一初级中学钱传福
定点定长走圆周,定线定角跑双弧。三点(不共线)必有外接圆,对角互补也共圆。有“圆”千里来相会,无“圆”对面不相识。“圆”出“缘”生关系现,“圆”成“缘”通真相明。确定隐圆的条件:
一、定点+定长1.依据:到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。
2.应用:(2)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,求BD的长。简析:221由AB=AC=AD=2,知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上,由AB∥CD得DE=BC=1,易求BD=。
ABCCAB
(1)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是_________.简析:E为定点,EB′为定长,B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆,作穿心线DE得最小值为。2.应用:
3.练习:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F作边AC上,且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB的距离的最小值为_____.M
3.练习:如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,求∠CAD的度数。
二、定线(段)+定角1.依据:
与一条定线(段)的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦,定角为圆周角的弧。特别地:当定角为直角时,定弦即为直径。
2.应用:(1)O
2.应用:(2)矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点P是CD上的动点,当∠APB=90°时,求DP的长.AB为定线,∠APB为定角(90°),P点路径为以AB为弦(直径)的弧,如下图,易得DP为2或8。简析:
3.练习:如图,∠XOY=45°,等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动,AB=2,那么OC的最大值为______.AB为定线,∠XOY为定角,O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧,如下图,转化为求定点C到定圆M的最长路径,即CM+MO=√3+1+√2。简析:
三、三点(不共线)定圆1.依据:不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.应用:ΔABC中,∠A=45°,AD⊥BC于D,BD=4,CD=6,求AD的长。作ΔABC的外接圆,如下图,易得AD=7+5=12。简析:
1.依据:对角互补(或一边所对的两个角相等)的四边形四个顶点共圆。四、四点共圆
2.应用:如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。因∠DCE=∠DFE=∠DPE=90°,知D、F、C、E、P共圆,如下图,由∠1=∠2、∠4=∠5,易得ΔAPD∽ΔDCF,CF:AP=CD:AD,得CF=1.5。简析:12345
练习:如图,在正方形ABCD中,∠EAF=45°,AE,AF分别交射线CB,DC于点E,F,交直线BD于M,N.(1)如图1,当点E,F在边BC,CD上时,求证:△AMN∽△DFN.(2)在(1)的条件下,求证:AE=AN.(3)如图2,当E,F在边CB,DC的延长线上,AM=3时,求AF的长.
小试牛刀:学了这么多,该你试一试了!1.如图,△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为_____.
图中显然O、E、F、B共圆,圆是动的,但弦BO=5,当BO为直径时最小,所以EF最小为5.简析:
2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AB=6,点D在AB边上,点E是BC边上一点(不与点B、C重合),且DA=DE,则AD的取值范围是_____。小试牛刀:因DA=DE,可以D点为圆心以DA为半径作圆,则圆D与BC相切时,半径DE最小。E向B点移动半径增大直至D到B处(不含B点),得2≤AD3。简析:
如图①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.(1)求证:CM=EM;(2)若
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