2024届高三数学二轮专题复习 第7讲 函数迭代与方程的根Word版.docxVIP

第7讲函数迭代与函数方程

知识方法扫描

一、函数方程

=1\*GB3①含有未知函数的等式叫作函数方程，使这个等式成立的未知函数就是函数方程的解．

=2\*GB3②函数方程的常见问题主要有：

（1）已知函数方程，求函数值．

（2）已知函数方程，讨论函数的性质．

（3）求解函数方程．

二、函数方程的一般解法

=1\*GB3①观察函数特有的性质

函数有一些特殊的性质，比如单调性、奇偶性、周期性等，利用这些性质对其进行观察判断后可以帮助解决问题．有时候还需要用两边夹的方法来确定函数值（即函数在某点的值既不小于某个数，又不大于该数，从而就是该数）．

=2\*GB3②代换法（或换元法）

把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数．由于代换后的函数未必与原函数等价，所以应当将所得解代人原函数方程进行检验．

=3\*GB3③赋值法

对于某些函数方程，特别是自变量的取值为整数的函数方程，有时要将方程中的自变量多次代换成具体的数，以便解决问题．对于自变量取值为有理数的函数，常常要先确定自变量为整数时的函数值，然后再利用有理数为两个整数的商来确定有理数的函数值．

=4\*GB3④待定系数法

当已知函数方程的解为多项式函数时，可以考虑用多项式的条件（比较系数和次数）和多项式根的性质来寻求适合方程的多项式函数．

=5\*GB3⑤递推法

数列中使用的递推方法经常用来求解函数在离散点（比如整点）处的值．

三、函数迭代

一般地，设是一个函数，，记，

，，，，，称函数

为的次迭代，并称为的迭代指数．一些简单函数的次迭代如下：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则；

（5）若，则．

典型例题剖析

例1已知对任意的，都有，试求函数的解析式．

例2已知，，求．

例3设函数满足：，且对任意的，，有

，求．

例4（1）设，证明：存在，使得能被2000整除．

（2）已知，求的表达式．

同步训练

一、填空题

1．已知是偶函数，奇函数，并且，，则．

2．设满足等式，则的值域是．

3．已知定义在上的函数满足：

（1）；

（2）当时，；

（3）对任意的实数，均有．则．

4．已知定义在上的函数，满足对任意，，都有成立，则．

5．记，的代数式为，它满足：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

则．

6．设函数，满足，且对任意，都有，则．

7．已知对每一个实数和函数满足．若，则满足的正整数对共有个

8．已知函数，，且，则．

二、解答题

9．函数满足：对任意，，，2，求．

10．设函数定义于闭区间，

满足，，且对任意，，都有，其中常数满足，求的值．

11．试求所有的函数，使得对任意，，都有

12．求出所有的函数，使得对于所有，，都能被整除．

13．设是定义在正整数集上且取正整数值的严格递增函数，，当，互素时，有

，证明：对一切正整数，．

14．已知满足条件：

（1）对，，；

（2）时，．

求函数．

15．试求所有的函数，使得对任意，，都有．

16．求所有的函数满足对所有的正实数，，，，，都有：．

第7讲

例1【分析】迭代构建关于的方程组求解．

【解析】由

=1\*GB3①

用代换式=1\*GB3①中，得

化简即

=2\*GB3②

又用代换式=1\*GB3①中得，

化简即

=3\*GB3③

为了方便，

特记，，则=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③

式即

解得．

【评注】这类问题是根据分式型函数迭代的周期性编制而得出．

例2【分析】从特殊性看问题，计算，守找逆推规律．

【解析】因为，所以

所以

由数学归纳法易知

【评注】归纳推理是解函数迭代问题的有效途径，值得注意的是，归纳推理所得结论，要用数学归纳法给予严格证明．

例3【分析】从特殊性看问题，想办法计算出，，寻找规律，并用数学归纳法证明之．

【解析】解法1由得

于是，我们猜测：，，下面用数学归纳法证明．

（1）当，，时，显然成立；

（2）假设当时结论成立，则令，得

同理，分别令，与，，则

，，

所以，当时，有，于是．

解法2容易求得，．

于是，我们猜测：，，下面用数学归纳法证明．

（1）当，，时，显然成立；

（2）假设当时，有，则当时，由于

于是

，

所以，，*成立．

于是．

解法3容易求得，．在中交换，得

两式相咸得

令，则

这是一个三阶齐次线性递推关系，其特征方程为，

求得其特征根为，于是，．

代入，，，求得，，，