微分中值定理.ppt

*微分中值定理则至少存在一点一、罗尔定理（iii）f(a)=f(b).设函数f(x)满足：证:f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m.则f(x)在[a,b]上恒为常数，因此f?(x)?0，定理1（罗尔定理）（i）在闭区间[a,b]上连续；（ii）在开区间(a,b)内可导；所以对于任一点??(a,b)，微分学的理论基础导数与应用的桥梁Rolle,1652~1719(1)若M=m，使由(i)知:都有f?(?)=0；否则f(x)必恒为常数。则M和m之中至少有一个不等于f(a)，设在点??(a,b)处，函数f(x)取得最大值f(?)=M，都有f(???x)?f(?)，即f(???x)?f(?)?0.由条件(ii)，f(x)在点?可导，于是，当?x0时，从而，(2)若M?m，不妨设M?f(a)，即最大值M不是端点处的函数值。则对一切???x?(a,b)，同理,当?x0时,有因导数存在,所以OABCabxy一条连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.若定理条件不满足，则结论不一定成立.罗尔定理的几何解释:则在曲线上至少有一点C,在该点处切线水平.区间内有不可导的点两端点的函数值不相等区间内有不连续的点并指出它们所在的区间。分别在区间(?1,1),(1,2),(2,3)内。证：显然,f(x)分别在闭区间[?1,1],[1,2],[2,3]上连续，例1设函数f(x)=(x+1)(x?1)(x?2)(x?3)，证明方程f?(x)=0有三个实根，且f(?1)=f(1)=f(2)=f(3).由罗尔定理，在(?1,1),(1,2),(2,3)内分别存在点?1,?2,?3，使得f?(?1)=f?(?2)=f?(?3)=0即方程f?(x)=0有三个实根，在开区间(?1,1),(1,2),(2,3)内可导，二、拉格朗日定理（分析）要证即只需证：以下作辅助函数，利用罗尔定理给出证明.定理2(拉格朗日定理)设函数f(x)满足：（i）在闭区间[a,b]上连续；Lagrange,1736~1813则至少存在一点??(a,b)，使（ii）在开区间(a,b)内可导，令则F(x)满足罗尔定理中的条件(i)(ii)，由罗尔定理知，至少存在一点使得即该公式对ab及ab均成立。证明且拉格朗日中值公式或OabxyABC公式可写成下列形式:若令f(a)=f(b)，则结论成为f?(?)=0。拉格朗日定理的几何解释连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.则在曲线上至少有一点C,在该点处切线平行于弦AB.注:或有限增量公式可见,罗尔定理是拉格朗日定理的特例。比较罗尔定理与拉格朗日定理一样只肯定了存在性但并没有给出求?的方法.但通过中值定理定理，不用求出我们也可得到一些有意义的结论，如推论推论1设函数f(x)在区间I上可导，且f?(x)?0，则f(x)在I上为常数。证在I内任取两点x1和x2，在(x1,x2)内可导，由拉格朗日定理知，不妨设x1x2.至少存在??(x1,x2)，使得显然，f(x)在[x1,x2]上连续,