初中阶段几种重要的数学思想方法.docVIP

初中阶段几种重要的数学思想方法

初中阶段几种重要的数学思想方法

教育

数学思想是数学活动的指导思想，是数学活动的一般概括.它是从整体和思维的更高层次上指导学生有效地认识数学本质，运用数学知识发现、完善数学知识结构，探寻解题的方向和途径.通过概括、比较上升为数学能力，并通过数学思想的运用，培养学生初步的科学方法论，提高思维素质，增强思维能力。数学思想的教学使中学数学教学进一步走向现代化.初中课堂教学中，数学思想尚处于隐含、渗透的阶段.毕业班复习辅导中有必要明确地突出其重要作用，使学生清楚地认识到只有在数学思想的指导下的数学学习活动，才是科学的数学学习活动，才具有很强的能动作用和创造作用.

一、转化与化归思想

1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.

数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.

2.转化包括等价转化和非等价转化

等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改.

3.转化与化归的原则

将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.

4.转化与化归的基本类型

（1）正与反、一般与特殊的转化；

（2）常量与变量的转化；

（3）数与形的转化；

（4）数学各分支之间的转化；

（5）相等与不相等之间的转化；

（6）实际问题与数学模型的转化.

二、数形结合思想

1.数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论.数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在数学中占有重要的地位.

2.数形结合的解题方法特点是具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的知识界限，有较强的综合性.在复习中加强这方面的训练，对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的.

数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题。从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助.

数形结合的主要方法有：解析法、三角法、图象法等.

3.数形结合的主要途径：

（1)形转化为数：即用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点.

（2)数转化为形：即根据给出的“数式”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题.

（3)数形结合：即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、思路易寻.

4、在运用数形结合时，要注意两点：

（1)“形”中觅“数”：很多数学问题，需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解.

型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0.可以说，函数的研究离不开方程.列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)的单调性、对称性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、反比例函数、二次函数等的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，