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初中阶段几种重要的数学思想方法
初中阶段几种重要的数学思想方法
教育
数学思想是数学活动的指导思想,是数学活动的一般概括.它是从整体和思维的更高层次上指导学生有效地认识数学本质,运用数学知识发现、完善数学知识结构,探寻解题的方向和途径.通过概括、比较上升为数学能力,并通过数学思想的运用,培养学生初步的科学方法论,提高思维素质,增强思维能力。数学思想的教学使中学数学教学进一步走向现代化.初中课堂教学中,数学思想尚处于隐含、渗透的阶段.毕业班复习辅导中有必要明确地突出其重要作用,使学生清楚地认识到只有在数学思想的指导下的数学学习活动,才是科学的数学学习活动,才具有很强的能动作用和创造作用.
一、转化与化归思想
1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.
数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归,数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说,转化与化归是数学思想方法的灵魂.
2.转化包括等价转化和非等价转化
等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的,这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果,不等价转化其过程则是充分的或必要的,这样的转化能给人带来思维的启迪,找到解决问题的突破口,不等价变形要对所得结论进行必要的修改.
3.转化与化归的原则
将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题,将抽象的问题转化为具体的直观的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际问题转化为数学问题,使问题便与解决.
4.转化与化归的基本类型
(1)正与反、一般与特殊的转化;
(2)常量与变量的转化;
(3)数与形的转化;
(4)数学各分支之间的转化;
(5)相等与不相等之间的转化;
(6)实际问题与数学模型的转化.
二、数形结合思想
1.数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化,如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景,而借助其背景图形的性质,可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观,以便于探求解题思路或找到问题的结论.数形结合,不仅是一种重要的解题方法,而且也是一种重要的思维方法,因此它在数学中占有重要的地位.
2.数形结合的解题方法特点是具有直观性、灵活性、深刻性,并跨越各科的知识界限,有较强的综合性.在复习中加强这方面的训练,对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的.
数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时,将图形信息转换成代数的信息,利用数量特征,将其转化为代数问题;在解决与数量有关的问题时,根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,即化为几何问题。从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径,这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助.
数形结合的主要方法有:解析法、三角法、图象法等.
3.数形结合的主要途径:
(1)形转化为数:即用代数方法研究几何问题,这是解析几何的基本特点.
(2)数转化为形:即根据给出的“数式”的结构特点,构造出与之相应的几何图形,用几何方法解决代数问题.
(3)数形结合:即用形研究数,用数研究形,相互结合,使问题变得直观、简捷、思路易寻.
4、在运用数形结合时,要注意两点:
(1)“形”中觅“数”:很多数学问题,需要根据图形寻求数量关系,将几何问题代数化,以数助形,使问题获解.
型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。
方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0.可以说,函数的研究离不开方程.列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)的单调性、对称性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、反比例函数、二次函数等的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,
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