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重庆市2024届高三第三次联合诊断检测数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合,集合,若,则(????)
A. B.0 C.1 D.2
2.设复数z满足,则z的虚部为()
A. B. C.3 D.
3.已知一种服装的销售量单位:百件与第x周的一组相关数据统计如表所示,若两变量x,y的经验回归方程为,则()
x
1
2
3
4
5
y
6
6
a
3
1
A.2 B.3 C.4 D.5
4.若圆锥的母线长为2,且母线与底面所成角为,则该圆锥的侧面积为()
A. B. C. D.
5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人,除成渝外的西部地区2000人,中部地区1400人,东部地区1800人,港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯,拟选取40人作样本调研,为保证调研结果的代表性,则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为()
A. B. C. D.
6.已知是定义域为的奇函数且满足,则()
A. B.0 C.1 D.
7.当点到直线l:的距离最大时,实数的值为()
A. B.1 C. D.2
8.已知,且,则()
A. B. C. D.
二、多选题
9.命题“存在,使得”为真命题的一个充分不必要条件是()
A. B. C. D.
10.已知双曲线C:,则其离心率可能为()
A.2 B. C. D.
11.若函数既有极小值又有极大值,则()
A. B. C. D.
三、填空题
12.已知单位正方形ABCD,点E是BC边上一点,若,则.
13.已知,,且,则.
14.已知棱长为1的正方体内有一个动点M,满足,且,则四棱锥体积的最小值为.
四、解答题
15.已知函数
(1)当时,求在点处的切线方程;
(2)若在区间上单调递增,求实数a的取值范围.
16.已知函数的最小正周期为
(1)求函数的单调递增区间;
(2)已知的三边长分别为a,b,c,其所对应的角为A,B,C,且,,,求该三角形的周长.
17.我市开展了“暖冬计划”活动,为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定:学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于某地采购了一批符合达标要求的供暖器,经抽样检测,这批供暖器的噪声单位:分贝和热效率的频率分布直方图如图所示:
假设数据在组内均匀分布,且以相应的频率作为概率.
(1)求a,b的值;
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的,从这批供暖器中随机抽2件,求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于的概率;
(3)当,设供暖器的噪声不超过(分贝)的概率为,供暖器的热效率不低于的概率为,求的取值范围.
18.设圆D:与抛物线C:交于E,F两点,已知
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l:与抛物线C交于A,B两点点A在第一象限,动点异于点A,在抛物线C上,连接MB,过点A作交抛物线C于点N,设直线AM与直线BN交于点P,当点P在直线l的左边时,求:
①点P的轨迹方程;
②面积的取值范围.
19.已知且,设是空间中个不同的点构成的集合,其中任意四点不在同一个平面上,表示点,间的距离,记集合
(1)若四面体满足:,,且
①求二面角的余弦值:
②若,求
(2)证明:
参考公式:
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参考答案:
1.B
【分析】利用子集的概念求解.
【详解】集合,集合,
若,又,所以,解得
故选:B
2.A
【分析】设复数,根据题意,列出方程,结合复数相等,求得的值,即可求解.
【详解】设复数,
因为复数z满足,可得,
即,则,,解得,
所以复数的虚部为.
故选:A.
3.C
【分析】根据统计图表中的数据,求得样本中心,代入回归直线方程,即可求解.
【详解】解:由统计图表中的数据,可得,
,即样本中心为,
因为两变量的经验回归方程为,
则,解得
故选:C.
4.C
【分析】根据题意,求得圆锥底面圆的半径,结合圆锥的侧面积公式,即可求解.
【详解】圆锥的母线长为2,母线与底面所成角为,所以底面圆的半径为,
所以该圆锥的侧面积为.
故选:C
5.C
【分析】根据分层抽样的性质计算即可。
【详解】为保证调研结果的代表性,设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人,
则,
解得,
即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果
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