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2.5角平分线的性质第2章图形的轴对称
知识点角平分线的性质知1-讲11.角的对称性角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴.
知1-讲2.角平分线的性质角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.几何语言:如图2.5-1,因为OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,所以PD=PE.要点精析:点一定要在角平分线上.点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度.
知1-讲特别提醒★角平分线是一条射线;角的对称轴是一条直线.1.角的平分线的性质是由两个条件(角平分线,垂线)得到一个结论(线段相等).2.利用角的平分线的性质说明线段相等时,说明的线段是“垂直于角两边的线段”,而不是“垂直于角平分线的线段”.
知1-练例1[期中·青岛]如图2.5-2,OD平分∠EOF,在OE,OF上分别取点A,B,使OA=OB,P为OD上一点,PM⊥BD,PN⊥AD,垂足分别为点M,N.试说明:PM=PN.解题秘方:在图中找出能利用角平分线性质的模型,利用角平分线的性质可说明线段相等.
知1-练解:因为OD平分∠EOF,所以∠BOD=∠AOD.又因为OB=OA,OD=OD,所以△BOD≌△AOD(SAS).所以∠BDO=∠ADO,所以DO平分∠BDA.又因为P为DO上一点,且PM⊥DB,PN⊥DA,所以PM=PN.
知1-练1-1.[期中·济宁]如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,试说明:PC=PD.
知1-练解:如图,过点P分别作PE⊥OB于点E,PF⊥OA于点F,则∠CFP=∠DEP=90°.因为OM是∠AOB的平分线,所以PE=PF.因为∠AOB=90°,∠CPD=90°,所以∠PCF+∠PDO=360°-∠AOB-∠CPD=180°.因为∠PDE+∠PDO=180°,所以∠PCF=∠PDE.
知1-练
知1-练如图2.5-3,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是86.8cm2,AB=16cm,AC=12cm,求DE的长.解题秘方:运用角平分线的性质和三角形的面积计算公式求解.例2
知1-练?
知1-练2-1.如图,点P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为点D.若PD=2,则点P到边OA的距离是()A.1B.2C.3D.4B
知2-讲知识点角平分线的判定21.判定法角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.几何语言:如图2.5-4,因为点P为∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E,且PD=PE,所以点P在∠AOB的平分线OC上.
知2-讲2.角平分线的判定与性质的关系(1)如图2.5-4,都与距离有关;条件PD⊥OA,PE⊥OB都具备.
知2-讲(2)点在角的平分线上(角的内部的)点到角两边的距离相等.拓展:(1)角的平分线可以看做是由到角两边距离相等的所有点组成的射线.(2)三角形的三条角平分线相交于一点,这个点叫做三角形的内心,它到三角形三边的距离相等.
知2-讲特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角的平分线的判定是由两个条件(垂线,线段相等)得到一个结论(角平分线).3.角的平分线的判定方法是说明两个角相等的重要依据,它比利用三角形全等说明两角相等更方便快捷.
知2-练如图2.5-5,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D,BE=CF.试说明:AD平分∠BAC.例3解题秘方:利用角平分线的判定定理判定角平分线时,关键是说明角的内部的点到角两边的距离相等.
知2-练?
知2-练3-1.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACN的平分线相交于点P,连接AP.
知2-练(1)试说明:AP平分△ABC的外角∠CAM;解:如图,过点P作PT⊥BN于点T,作PS⊥AC于点S,PQ⊥BM于点Q.因为在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACN的平分线相交于点P,所以PQ=PT,PS=PT.所以PQ=PS.所以AP平分∠MAC,即AP平分△ABC的外角∠CAM.
知2-练(2)过点C作CE⊥AP,垂足是E,并延长CE交BM于点D.试说明:CE=ED.
知3-讲知识点作角的平分线31.步骤与图示已知:∠AOB(如图2.5-6).求作:∠AOB的平分线.
?知3-讲
2.作角平
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