不等式的证明典型例题.docx

不等式的证明·典型例题

【例1】 已知a，b，c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc．

【分析】 用求差比较法证明．

证明：a3+b3+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]

∵a，b，c∈R+，∴a+b+c＞0．

(c-a)]2≥0

即 a3+b3+c3-3abc≥0，∴a3+b3+c3≥3abc．

【例2】 已知a，b∈R+，n∈N，求证：(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)．

【分析】 用求差比较法证明．

证明：左-右=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1

=abn+anb-an+1-bn+1

=a(bn-an)+b(an-bn)

=(bn-an)(a-b)

(*)

当a＞b＞0时，bn-an＜0，a-b＞0，∴(*)＜0；

当b＞a＞0时，bn-an＞0，a-b＜0，∴(*)＜0；当a=b＞0时，bn-an=0，a-b=0，∴(*)=0．

综上所述，有(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0．即 (a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)．

【说明】 在求差比较的三个步骤中，“变形”是关键，常用的变形手段有配方、因式分解等，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式．

【例3】 已知a，b∈R+，求证aabb≥abba．

【分析】 采用求商比较法证明．证明：∵a，b∈R+，∴abba＞0

综上所述，当a＞0，b＞0，必有aabb≥abba．

【说明】 商值比较法的理论依据是：

【例4】 已知a、b、c是不全等的正数，求证：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc．

【分析】 采用综合法证明，利用性质a2+b2≥2ab．证明：∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a(b2+c2)≥2abc．

①

同理b(c2+a2)≥2abc

②

c(a2+b2)≥2abc

③

∵a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一个式子不能取“=”号

∴①+②+③，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc．

【例5】 已知a，b，c∈R+，求证：(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc；

【分析】 用综合法证明，注意构造定理所需条件．证明：

(1)ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)．

∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16abc因此，当a，b，c∈R+，有(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc．

【说明】 用均值定理证明不等式时，一要注意定理适用的条件，二要为运用定理对式子作适当变形，把式子分成若干分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相乘．

【分析】 采用分析法证明．

(*)

∵a＜c，b＜c，∴a+b＜2c，∴(*)式成立．

∴原不等式成立．

［说明］往竞“分析祛＂的证明格式，是用“=＂符号，不断

用充分条件代替前面的不等式．

【例7】 若a、b、c是不全相等的正数，求证：

a+ bb+ c c+a

lg +lg +lg 灰＋lgb+lgc.

乙乙乙

2 参 2 多 2 卢【分析】利用对数性质子待证不等式为纸a+b b+c c+a.a+b b+c c+

2 参 2 多 2 卢

l吵c季即 参 拳

2 2 2

／如-子，

于是利用 2 矗5即可得证奎

乙

a+b b+c c+ a

证明：（分析祛）lg +lg +lg lga＋梦＋1婴

乙乙乙

a+b h+c c+a

乙=;l纸 r- 参

乙

乙

李— —)＞lg动c

夕？乙

夕？

a+b b+c c+a

＞扯c

壬一一 季 参

乙乙乙乒夕 乒 ？，

乙乙乙

a+b b+c一二 c+ a

·——尽＞0子一 夕五乙c 0, ＞尽＞0, 且上三个

2 2 2

a+b b+c c+a

不等式中等号不能同时成立所以

参季

2 2 乙

a忱成立紊

a +b . b+c . c+a

2_＿§乙

2

_＿§

乙

乙

+lg r＋1g r lga+lgb+l痉王

证明二：(综合法)∵a，b，c∈R+，

a+b

2

嘉＞o b+c

子

子

2二·-

忘＞o子

a+c ~

丘

o，.

2 2 乙

abc成立．上式两边同取常用对数，得

【说明】 分析法和综合法是对立统一的两个方面．在证法