机械控制理论基础 课件 第5、6章 控制系统的频率特性、 控制系统的稳定性.ppt

*即将扩展为一条包围整个[s]右半平面的封闭曲线，而[A(s)]平面通过坐标平移后可转换为GH平面，如下图。即因此，为闭环特征方程在[s]右半平面的特征根的个数；为开环传递函数在[s]右半平面的极点的个数；为在GH平面上的开环频率特性逆时针包围（-1,j0）的圈数。*3.Nyquist稳定性判据由于闭环系统稳定的充要条件是A(s)（或1+G(s)H(s)=0）在[s]平面的右半平面没有零点（或特征根），即所以Nyquist稳定判据为：当ω由-∞到+∞变化时，若[GH]平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针方向包围（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。p为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。对于开环稳定的系统，有p=0，此时闭环系统稳定的充要条件是：系统的开环频率特性G(jω)H(jω)的乃奎斯特图不包含（-1，j0）点，即N=0。*1.稳定性的概念6.1稳定性概念与判稳准则系统在受到外界干扰作用时，其被控制量将偏离平衡位置，当这个干扰作用去除后，若系统在足够长的时间内能够恢复到其原来的平衡状态或者趋于一个给定的新的平衡状态，则该系统是稳定的。反之，则系统是不稳定的。*（a）稳定（b）临界（c）不稳定*线性系统稳定与否，取决于系统内部条件，而与输入或扰动无关。（非线性系统的稳定性是与输入有关的）控制理论所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下（即输入为零，而初始状态不为零时）的稳定性。初始条件不为零时引起的初始输出不为零初始条件为零时，对系统施加瞬间干扰，即输入单位脉冲函数。注意：这里所讲的“外界扰动作用”可以分为两种情况：稳定性的例子：战斗机，麦克风，海湾大桥，单足与双足机器人，倒立摆，Segway等等*2.判断稳定性的基本准则对于n阶定常线性系统，其微分方程为进行拉氏变换后整理得：其中为系统的传递函数再进行拉氏反变换后得到：*稳定性就是研究初始状态下的输出情况。上式右边的第一项即系统在初始状态下的输出。当特征方程的根各不相同时，系统的输出为若系统的特征方程的根实部均为负值，即Re[si]0，则零输入响应最终将衰减为零。这样系统就是稳定的。由此可见：系统传递函数的零点（即其输入项参数）对系统的稳定性无影响。*若对线性系统在初始状态为零时输入单位脉冲函数，单位脉冲响应的形式与零输入响应形式相同。综上所述，系统稳定的充要条件：系统的全部特征根都具有负实部。即系统闭环传递函数的全部极点均位于[s]平面的左半平面，则系统稳定。这是判断系统稳定性的基本准则。随着时间t趋于无穷，当单位脉冲响应趋于零时，则系统稳定。*[s]平面的划分：（1）特征根在复平面的左半平面（包含原点），系统对于干扰的响应为衰减振荡；（2）特征根在虚轴上，系统对于干扰的响应为等幅振荡；（3）特征根在复平面的右半平面，系统对于干扰的响应为扩散振荡。思考：当系统有一个、两个特征根在原点时，系统的稳定性？*6.2Routh（劳斯）稳定性判据1.系统稳定的必要条件如上一节所述，线性定常系统的稳定性分析，本质上就是确定其特征方程的根在复平面上的位置分布。它可以采用直接对特征方程求解的形式，但这并不是在任何情况下都容易做到的。Routh和Hurwitz判据就是采用间接方法确定特征方程根的，它们都是利用特征方程系数之间的代数关系来实现对特征根位置分布的判断，因而属于代数判据。下面重点讲述Routh判据。该判据由英国科学家E.J.Routh在1877年提出。**要使全部特征根均具有负实部，必须满足两个条件，即必要条件：1）特征方程的各项系数ai（a0除外）都不为零。因为若有一系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，此时系统为临界稳定或不稳定。2）特征方程的各项系数ai的符号都相同。*2.系统稳定的充要条件（1）Routh数列*（2）Routh稳定性判据因此，系统稳定的充要条件是：特征方程的系数全为正，且Routh数列中第一列各元素的符号均为正。若Routh数表中第一列各元不全为正，则其符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根（即不稳定特征根）的个数。例如：没有不稳定根（稳定）有一个不稳定根（不稳定）有两个不稳定根（不稳定）*例1：(1)(2)(3)（4）一项为负，不稳定缺项，不稳定满足必要条件，可能稳定由于特征方程中有一系数为负