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电磁场仿真实验报告

实验题目：

有一极长的方形金属槽，边宽为1m，除顶盖电位为100sin(pi*x)V外，其它三面的电位均为零，试用差分法求槽内点位的分布。

1、有限差分法的原理

它的根本思想是将场域划分成网格，用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程，然后解这些差分方程求出离散节点上位函数的值。

一般来说，只要划分得充分细，其结果就可到达足够的精确度。

差分网格的划分有多种不同的方式，这里将讨论二维拉普拉斯方程的正方形网格划分法。

如下列图1所示，用分别平行与x，y轴的两组直线把场域D划分成许多正方行网格，网格线的交点称为节点，两相邻平行网格线间的距离h称为步距。

用表示节点处的电位值。利用二元函数泰勒公式，可将与节点〔xi，yi〕直接相邻的节点上的电位值表示为

上述公式经整理可得差分方程

这就是二维拉普拉斯方程的差分格式，它将场域内任意一点的位函数值表示为周围直接相邻的四个位函数值的平均值。这一关系式对场域内的每一节点都成立，也就是说，对场域的每一个节点都可以列出一个上式形式的差分方程，所有节点的差分方程构成联立差分方程组。的边界条件经离散化后成为边界点上数值。假设场域的边界正好落在网格点上，那么将这些点赋予边界上的位函数值。一般情况下，场域的边界不一定正好落在网格节点上，最简单的近似处理就是将最靠近边界点的节点作为边界节点，并将位函数的边界值赋予这些节点。2、差分方程的求解方法：简单迭代法

先对静电场内的节点赋予迭代初值，其上标〔0〕表示初始近似值。然后再按下面的公式：

进行屡次迭代〔k=0,1,2,3…〕。当两次邻近的迭代值差足够小时，就认为得到了电位函数的近似数值解。

实验程序：

a=zeros(135,135);

fori=1:135a(i,i)=1;

end;

fori=1:7

a(15*i+1,15*i+2)=-0.25;a(15*i+1,15*i+16)=-0.25;a(15*i+1,15*i-14)=-0.25;

end

fori=1:7

a(15*i+15,15*i+14)=-0.25;a(15*i+15,15*i+30)=-0.25;a(15*i+15,15*i)=-0.25;

end

a(1,2)=-0.25;a(1,16)=-0.25;

a(121,122)=-0.25;a(121,106)=-0.25;

a(135,134)=-0.25;a(135,120)=-0.25;

a(15,14)=-0.25;a(15,30)=-0.25;

fori=2:14a(i,i-1)=-0.25;a(i,i+1)=-0.25;a(i,i+15)=-0.25;

end

fori=122:134a(i,i-1)=-0.25;a(i,i+1)=-0.25;a(i,i-15)=-0.25;

end

fori=1:7

forj=2:14;

a(15*i+j,15*i+j-1)=-0.25;

a(15*i+j,15*i+j+1)=-0.25;

a(15*i+j,15*i+j+15)=-0.25;

a(15*i+j,15*i+j-15)=-0.25;

end

end

b=a^(-1);

c=zeros(135,1);

fori=121:135c(i,1)=25;

end

d=b*c;s=zeros(11,17);fori=2:16

s(11,j)=100*sin(pi.*i);

end

fori=1:9

forj=1:15

s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1);

end

end

subplot(1,2,1),mesh(s)

axis([0,17,0,11,0,100])

subplot(1,2,2),contour(s,32)

实验结果如下：

以上是划分为135*135个网格的过程，同理可有如下数据：

〔1〕将题干场域划分为16个网格，共有25各节点，其中16个边界的节点的电位值是，现在要解的是经典场域内的9个内节点的电位值。而且先对此场域内的节点赋予了迭代初值均为1.

第十七次迭代值：

070.7107100.000070.71070

033.181046.925133.18110

015.088721.338715.08870

05.83528.25235.83520

00000

第二十次迭代值：

070.7107100.000070.71070