江西省南昌市第十九中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试卷（含答案解析）.docx

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江西省南昌市第十九中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列说法正确的是（????）

A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17

B．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件

D．若随机变量，满足，则

2．已知，则（????）

A． B． C． D．

3．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（???）

A．1 B． C． D．

4．已知实数满足，，，则（????）

A． B． C． D．

5．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）

A．1 B．2 C．4 D．8

7．计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制．一个十进制数可以表示成二进制数，，则，其中，当时，；记，，，，中1的个数为，则满足且的的个数为（????）

A．7 B．5 C．4 D．6

8．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．等比数列的公比为，且成等差数列，则下列说法正确的是（????）

A． B．若，则

C．若，则 D．

10．已知复数，其中为虚数单位，若满足，则下列说法中正确的是（????）

A．的最大值为

B．的最大值为

C．存在两个，使得成立

D．存在两个，使得成立

11．图，在边长为4的正方形中，为的中点，为的中点．若分别沿，把这个正方形折成一个四面体，使、两点重合，重合后的点记为，则在四面体中，下列结论正确的是（????）

??

A．

B．到直线的距离为

C．三棱锥外接球的半径为

D．直线与所成角的余弦值为

三、填空题

12．已知，则的值为．

13．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是.（用数字作答）

14．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于．

四、解答题

15．已知数列满足：.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求正整数的最大值.

16．如图，在正三棱柱中，，点分别是棱，的中点，点满足，其中.

(1)当时，求证：∥平面；

(2)当时，是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值是？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.

17．某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手甲参加该闯关游戏，已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为，且每关闯关成功与否互不影响．

(1)求选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；

(2)设选手甲所得总奖金为X，求X的分布列及其数学期望．

18．双曲线C：的离心率为，点在C上.

(1)求C的方程；

(2)设圆O：上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.

19．英国数学家泰勒（B．Taylor，1685—1731）发现了：当函数在定义域内n阶可导，则有如下公式：以上公式称为函数的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中，，表示的n阶导数，即连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：

(1)写出的泰勒展开式（至少有5项）；

(2)设，若是的极小值点，求实数a的取值范围；

(3)若，k为正整数，求k的值．

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参考答案：

1．B

【分析】A选项，根据百分位数的定义进行计算；B选项，，推出结论；C选项，由于事件A，B对立是事件A，B互斥