培优专题16 证明切线的两种类型-解析版.pdfVIP

培优专题16证明切线的两种类型

◎类型一：直线与圆有交点

方法归纳:直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需“连半径,证垂直,得切

线”.“证垂直”时通常利用國中的关系得到90°的角,如直径所对的圆周角等于

90°等.

常见证明垂直的思路有三种。

思路一：利用两个锐角互余证明垂直；

思路二：利用全等证明垂直；

思路三：利用勾股定理的逆定理证明垂直；

思路四：利用等腰三角形的性质证明垂直。

这三种思路在证明垂直时能经常用到，当选择用“作半径，证垂直”时可以考虑用这三

种思路。

12022··ABCDACÐCAB=90°A

．（江苏苏州二模）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，

以AB的长为半径作eA，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．

(1)求证：DE与eA相切；

(2)若ÐADE=30°，AB=6，求EF的长．

(1)

【答案】见解析；

(2)EF=36-32．

1AEÐDAE=ÐAEBSAS△AED≌△BAC

【分析】（）连接，根据平行四边形的性质得到，然后根据证明，

根据全等三角形的性质即可证明；

2EFEG⊥AC1△AED≌△BACÐADE=ÐACB=30°

（）连接，作，由（）可知的性质得出后证明△ABE

是等边三角形，接着求出ÐCAE=30°，利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出

GE=3，AG=33，最后利用勾股定理求出EF的长．

(1)

解：连接AE，

∵平行四边形ABCD，

∴AD//BC，AD=BC，

∴ÐEAD=ÐAEB，

∵AE=AB，

∴ÐAEB=ÐABE，

∴ÐEAD=ÐABE，

在VAED和VBAC中，

ìAB=EA

ï

íÐEAD=ÐABE

ïBC=AD

î

∴△AED≌△BAC(SAS)，

∴ÐAED=ÐBAC，

∵ÐCAB=90°，

∴ÐAED=ÐBAC=90°，

AEeA

∵的半径，

∴DE与eA相切；

(2)

连接EF，作EG⊥AC，

1△AED≌△BAC

由（）可知，

∴ÐADE=ÐACB=30°，

∵ÐCAB=90°，AB=6，

∴ÐABE=60°，

又∵AE=AB，

∴△ABE是等边三角形，

∴AC=63，BC=12，ÐCAE=30°

∴BE=EC=6，

∵EG⊥AC，

∴ÐEGA=90°，

∴GE=3，AG=33，

∴GF=6-33，

在RtVEFG中，

22222

EF=GE+GF=3+(6-33)=6´(3-3)=36-32．

【点睛】本题主要考查圆的综合，切线的判定、三角形全等的判定及性质、勾股定理，重点是掌握圆的基

础知识定理，并且要灵活运用．

22022··Rt△ABC∠BAC90°AB⊙O

．（河北邢台市开元中学九年级期末）如图，在中，＝，以为直径的与

BC