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三角函数式的化简
要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\能求值得要求出值.
一:定义法
例1. 化简
tanx?sinx?
tanx?sinx
tanx?sinx tanx?sinx
解:设点P(x,y)为角x终边上一点,且OP?r?
,则sinx?y,tanx?y.
x2?
x2?y2
y?y y?y
?原式?
r ?x r?
y ?r?x?
y2?r2?x2?0
y?y y?
r?x y y(r?x)
x r x r
二:弦切互化法
x 1?tan2x
例2. 化简tan2x(sin2
x?tanx?tan ?cos2x)?
2 1?tan2x
x sin2x x
解:原式?
sin2x?(1?sinx?
sin 1?
2)?
cos2
x?sin2x
(1?
2sin2
2)?cos2x
cos2x cosx cosx
1?sin2
x cos2x
cosx
?sin2x?
2 cos2x
1 ?cos2x?2sin2x
cos2x cosx
三: 变用公式
例3.
化简tan15o?tan25o?tan25o?tan50o?tan50o?tan15o
解:原式?tan25?(tan15??tan50?)?tan50??tan15?
?tan25??tan(15??50?)(1?tan15?tan50?)?tan50??tan15?
?(1?tan15??tan50?)?tan50??tan15??1
说明:公式tan(???)?
tan??tan?1?tan?tan?
在解题中运用非常灵活.常常变形为
tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?)来使用.
四: 连锁反应法例5.
化简sin6?sin42?sin66osin78o
cos6??sin6??cos12??cos24??cos48?
解:原式?sin6??cos48??cos24??cos12??
1
cos6?
?1
?
sin12??cos12??cos24??cos48?
=2
cos6?
sin96
? ? ?? ? ? ?16 ?1cos6?
? ? ?
说明:此题分子分母同乘以cos6?,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地.五: 升降次法
例6. 化简cos2(x?y)?cos2(x?y)?cos2x?cos2y
解: 原式?1?cos(2x?2y)
?1?cos(2x?2y)
cos2x?cos2y
?1?
2 2
1[cos(2x?2y)?cos(2x?2y)]?cos2x?cos2y2
1?cos2x?cos2y?cos2x?cos2y?1
例7. 化简:3?1cos2x?1cos4x
8 2 8
解: 原式
3 1 13 1 3 1? ? (2cos2x?1)? (2cos22x?1)8 2 8
3 1 1
3 1 3 1
? ?cos2x? (2cos2x?1)2? ?cos2x? (4cos4x?4cos2x?1)4 4 4 4
1?2cos2x?cos4x?(1?cos2x)2?sin4x
六: 基本技巧
例8(1)化简:1?sin2??cos2?
1?sin
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