2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学(教师讲评用卷).docxVIP

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2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设z＝5+i，则i（z+z）＝（）

A．10i B．2i C．10 D．﹣2

【答案】A

【知识点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】解：据题意，z=5+i，则z=5?i，z+z=10，

故答案为：A.

【分析】利用已知条件先求出z，再求出z+z

2．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x∈A}，则?A（A∩B）＝（）

A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5}

【答案】D

【知识点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算

【解析】【解答】解：根据题意，A={1,2,3,4,5,9}，

而B={x|x∈A}，利用代入法求解集合B，

可得B={1,4,9,16,25,81}

3．若实数x，y满足约束条件4x?3y?3?0x?2y?2?02x+6y?9?0则z＝x﹣5

A．5 B．12 C．﹣2 D．

【答案】D

【知识点】简单线性规划

【解析】【解答】解：据题意，先画出4x?3y?3≥0x?2y?2≤0

如下图所示：

法一：先把三条直线两两相交的交点求出得：

A32,1,B0,?1,C3,12，

分别将这三点代入z＝x﹣5y，

则在A点时，z有最小值为?72；

法二：由z=x?5y

化简成：y=15x?15z，

此时，

【分析】首先画出可行域，法一：先求交点，直接代入交点比较即可得到结果；法二，对z=x?5y先化简得y=1

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（）

A．﹣2 B．73 C．1

【答案】B

【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和

【解析】【解答】解：由S5＝S10，

则5a1+10d=10a1+45d，

化简得：5a1+35d=0，

又a

故答案为：B.

【分析】由S5＝S10，a5＝1，化成基本量a1与的，列方程组求解即可得到结果.

5．已知双曲线C：y2a2?x2b

A．4 B．3 C．2 D．2

【答案】C

【知识点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4），则c=4，

又P（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：

|PF1|?|PF2|=2a，

根据两点坐标公式得：|PF1|=62+

6．设函数f（x）＝ex+2sinx1+x2

A．16 B．13 C．12

【答案】A

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：由f（x）＝ex+2sinx1+x2，要求在点（0，1）处的切线，

则f(x)=(ex+2cosx)(1+x2)?(

所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=1

故答案为：A.

【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.

7．函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】函数的奇偶性；函数的图象

【解析】【解答】解：由f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx，

则f(?x)=?x2+(e?x?ex)sin

【分析】先判断函数奇偶性，接着利用特殊值x=1，进而得到结果.

8．已知cosαcosα?

A．23+1 B．23?1 C．

【答案】B

【知识点】弦切互化；两角和与差的正切公式

【解析】【解答】解：由cosα

利用齐次式分子分母同时除以cosα得：

11?tanα=3，解得tan

【分析】利用齐次式化简得tanα=1?

9．已知向量a＝（x+1，x），b＝（x，2），则（）

A．“a⊥b”的必要条件是“x＝﹣3”

B．“a∥b”的必要条件是“x＝﹣3”

C．“a⊥b”的充分条件是“x＝0”

D．“a∥b”的充分条件是“x＝﹣1+3”

【答案】C

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示

【解析】【解答】解：a＝（x+1，x），b＝（x，2）

当a⊥b时，x?(x+1)+2x=0，则x2

所以A错误，C正确；

同理，当a//b，即2(x+1)=x2，即

【分析】利用平行垂直得坐标运算结合充分条件，必要条件的判断即可得到结果.

10．已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：

①若m∥n，则n∥α或n∥β

②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β

③若n∥α，且n∥β，则m∥n

④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n

其中，所有真命题的编号是（）

A．①③ B．②③ C．①②③