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金山中学2023学年第二学期高一年级数学期末
2024.06
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.已知集合,,则______.
2.若扇形的弧长和半径都是3,则扇形的面积为______.
3.______.
4.设,则函数的最小值为______.
5.设,,且,则______.
6.设i为虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为______.
7.数列是等比数列,和是方程的两根,则______.
8.已知函数在时取得最大值,则______.
9.已知、满足,在方向上的数量投影为,则的最小值为______.
10.设x,y为锐角,且,,则______.
11.为了研究问题方便,有时候余弦公式会写成:,利用这个结构解决如下问题:如果三个正实数x、y、z满足:,,,则______.
12.已知平面向量、是不共线的单位向量,记、的夹角为θ,若平面向量满足,且对于任意的正实数k,恒成立,则的最大值为______.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,13-14题每题4分,15-16题每题5分)
13.“”是“α为第三、四象限”的()条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
14.下列命题为假命题的是()
A.若,则 B.若,则
C.若且,则 D.若且,则
15.设的内角A、B、C的边长分别是a,b,c,且,则的值是()
A.2 B.4 C.6 D.以上都不对
16.已知,下列结论错误的个数是()
①若,,且的最小值为π,则;
②存在,使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称;
③若在上恰有7个零点,则ω的取值范围是;
④若在上单调递增,则ω的取值范围是.
A.1 B.2 C.3 D.4
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)
已知集合.
(1)求集合A的值;
(2)求函数的值域.
18.(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知,是关于x的方程的两个虚根,i为虚数单位.
(1)当时,求实数m,n的值.
(2)当,且,求实数n的值.
19.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)
设是公比大于1的等比数列,为数列的前n项和.已知,且、、构成等差数列,令.
(1)求数列、的通项公式;
(2)令,求数列的前n项和.
20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知函数(,,)的图象如图所示.
将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C,把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的曲线对应的函数记作.
(1)求函数的单调减区间;
(2)求函数的最小值;
(3)若函数在内恰有6个零点,求m的值.
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知,向量,,、、是坐标平面上的三点,使得,.
(1)若,的坐标为,求;
(2)若,,求的最大值;
(3)若存在,使得当时,为等边三角形,求θ的所有可能值.
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参考答案
一、填空题
1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.12.
二、选择题
13.B14.A15.B16.C
15.设的内角A、B、C的边长分别是a,b,c,且,则的值是()
A.2 B.4 C.6 D.以上都不对
【答案】B
【解析】中,由正弦定理可得
化简可得,故,
故选:
16.已知,下列结论错误的个数是()
①若,,且的最小值为π,则;
②存在,使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称;
③若在上恰有7个零点,则ω的取值范围是;
④若在上单调递增,则ω的取值范围是.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】,周期.
①由条件知,周期为,故错误;
②函数图象右移个单位长度后得到的函数为,其图象关于轴对称,则,故对任意整数,故错误;
③由条件,得,,故错误;
④由条件,得,又,故正确.所以选C
三.解答题
17.(1)(2)
18.(1)(2)
19.(1)(2)
20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知函数(,,)的图象如图所示.
将函
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