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第20讲一笔画问题
专题概述
一笔画是指从一点出发,笔不离纸,每边都只画一次且不重复所画出的图形。在一笔画中,任意两点都是连通的,因此一笔画一定是连通图。本讲中要注意以下知识点:
(1)一个图形中,与偶数条线相连接的点叫做偶点,与奇数条线相连接的点叫做奇点。如果一个连通图形只由偶点组成,那这个图形就是一笔画。
(2)如果一个连通图形中只有两个奇点,那这个图形也是一笔画,画时必须以一个奇点为起点,另一个奇点为终点。其余情形均为多笔画。
(3)对于任意的连通图来说,如果有2n(n为自然数)个奇点,那么这个图一定可以用n笔画。
典型例题1
下列图形能一笔画出吗?请你说出理由,如果是的话尝试画一画。
分析以上的点都是连通的,根据奇点个数可以进行判断。图(1)中的奇点个数有2个,分别是左上端和右上端的点,因此可以以这两点为起点和终点画图,所以能一笔画出;图(2)中的奇点个数有2个,分别是左上端和右上端的点,所以能一笔画出;图(3)中奇点的个数有4个,因此不能一笔画出;图(4)中,奇点个数有2个,因此可以一笔画出。
解图(1):能,理由略,图略;图(2):能,理由略,图略;图(3):不能,理由略;图(4):能,理由略,图略。
思维训练1
1.请你判断下列图形是不是一笔画,如果是的话尝试画一画。
2.下列图形能一笔画出吗?如果能,应以哪一点为起点,哪一点为终点?
典型例题2
添上一条线段使下列图形变成一笔画。
分析第一幅图中,奇点数=4,不能一笔画,要想一笔画只要奇点数变成2即可[如图(1)所示],在第二幅图中,奇点数=4,要想一笔画只要奇点数变成2即可[如图(2)所示]。(画法不唯一)
解如图所示:
思维训练2
下列图形至少需要几笔才能画成?
2.添上2条线段使下图变成2笔画。
典型例题3
要想画出如下图形至少需要多少笔?
分析图中的奇点个数为8,因为连通图如果有偶数个奇点,那么这个图一定可以用(偶数÷2)笔画成,所以这个图形可以用4笔画成。
解这个图形至少需要4笔画。
思维训练3
1.如果要画出下面的图形,则至少需要几笔?
2.如果要画出下面的平面图形,则至少需要几笔?
典型例题4
清洁工人为村庄打扫街道,村庄街道简图如下,为了使清洁工人节省体力,你能设计一条能经过所有街道,又不重复的路线吗?(可以选图中的任意一点为起点)
分析图中各点连接的线的数量表示为A:4,B:4;C:4;D:2;E:4;F:4;G:4;H:4;I:4;J:4;K:4;L:4;M:5(奇点);N:4;O:3(奇点)。因此可以一笔画,以O为起点,以M为终点,或以M为起点,以O为终点。
解路线不唯一,如:O→A→B→C→D→E→F→G→E→C→I→B→K→A→N→L→K→J→I→G→H→J→L→M→H→F→M→O→N→M。
思维训练4
1.如图两岸之间有两个小岛,岸与小岛、小岛与小岛间架有小桥,你能从任一岸出发不重复地走完所有小桥,到达另一岸吗?
2.学校要开展定向运动比赛,如图是它的平面图,在A~H中选两个准备设起点和终点,应设在哪里才能让学生不重复地走遍每条路?
竞赛强化
1.下列图形各有几个奇点?几个偶点?
2.请增加2条线段使下列图形能一笔画。(至少2种画法)
3.如下图形至少需要多少笔画才能画成?
4.如图是一张长方形纸片,上面画了一些线段,你能用剪刀沿着图中的线,一次连续地剪下得到10个三角形吗?
5.请减少1条线段使如图图形可以一笔画。
6.如图是植物园的平面图,要想走遍每条路且不重复走,应该怎样走?
7.一个送外卖小哥要走的街道如图所示,他从点A出发,要走遍各街道,最后回到点A,怎样走才能使所走的路程最短?
8.如图图形是否能一笔画?如果要去掉一条线段,使得所得的图形仍然能一笔画,请问这条线段是哪条?
9.图中的图形去掉哪条标记的线段后,会变成一笔画?
10.如图是公园的建设简图,黑色线条表示的是小路(包括外围的线)。
(1)游客能连续且不重复地走完所有的道路吗?请说明理由。
(2)如果可以,公园的入口可以设在哪一点?如果不可以,你能再为公园设计一条路,使得游客能连续且不重复地走完所有路吗?
思维训练1
1.(1)不是(2)是画图略(3)不是(4)是画图略。
2.这个图形能一笔画出,应以A点为起点,D点为终点,或D点为起点,A点为终点。
思维训练2
1.图中的奇点个数为4,一定可以用2笔画成。所以图形至少需要2笔才能画成。
2.图形的奇点个数为8,需要4笔才能画成,要想变成2笔画,只要奇点个数为4即可。如图所示(答案不唯一):
思维训练3
1.图中奇点个数有6个,因此至少需要6÷2=3(笔)画。
2.图中奇点的个数有4个,因此至少需要2笔画出。
思维训练4
1.可以。两个岸与两个小岛可看成
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