第20讲 一笔画问题2023-2024学年人教版二年级数学尖子生突破练习.docxVIP

第20讲一笔画问题

专题概述

一笔画是指从一点出发，笔不离纸，每边都只画一次且不重复所画出的图形。在一笔画中，任意两点都是连通的，因此一笔画一定是连通图。本讲中要注意以下知识点：

(1)一个图形中，与偶数条线相连接的点叫做偶点，与奇数条线相连接的点叫做奇点。如果一个连通图形只由偶点组成，那这个图形就是一笔画。

(2)如果一个连通图形中只有两个奇点，那这个图形也是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。其余情形均为多笔画。

(3)对于任意的连通图来说，如果有2n(n为自然数)个奇点，那么这个图一定可以用n笔画。

典型例题1

下列图形能一笔画出吗?请你说出理由，如果是的话尝试画一画。

分析以上的点都是连通的，根据奇点个数可以进行判断。图(1)中的奇点个数有2个，分别是左上端和右上端的点，因此可以以这两点为起点和终点画图，所以能一笔画出；图(2)中的奇点个数有2个，分别是左上端和右上端的点，所以能一笔画出；图(3)中奇点的个数有4个，因此不能一笔画出；图(4)中，奇点个数有2个，因此可以一笔画出。

解图(1):能,理由略,图略;图(2):能,理由略,图略;图(3):不能,理由略;图(4):能,理由略，图略。

思维训练1

1.请你判断下列图形是不是一笔画，如果是的话尝试画一画。

2.下列图形能一笔画出吗?如果能，应以哪一点为起点，哪一点为终点?

典型例题2

添上一条线段使下列图形变成一笔画。

分析第一幅图中，奇点数=4，不能一笔画，要想一笔画只要奇点数变成2即可[如图(1)所示]，在第二幅图中，奇点数=4，要想一笔画只要奇点数变成2即可[如图(2)所示]。(画法不唯一)

解如图所示：

思维训练2

下列图形至少需要几笔才能画成?

2.添上2条线段使下图变成2笔画。

典型例题3

要想画出如下图形至少需要多少笔?

分析图中的奇点个数为8，因为连通图如果有偶数个奇点，那么这个图一定可以用(偶数÷2)笔画成，所以这个图形可以用4笔画成。

解这个图形至少需要4笔画。

思维训练3

1.如果要画出下面的图形，则至少需要几笔?

2.如果要画出下面的平面图形，则至少需要几笔?

典型例题4

清洁工人为村庄打扫街道，村庄街道简图如下，为了使清洁工人节省体力，你能设计一条能经过所有街道，又不重复的路线吗?(可以选图中的任意一点为起点)

分析图中各点连接的线的数量表示为A:4,B:4;C:4;D:2;E:4;F:4;G:4;H:4;I:4;J:4;K:4;L:4;M:5(奇点);N:4;O:3(奇点)。因此可以一笔画,以O为起点,以M为终点,或以M为起点，以O为终点。

解路线不唯一,如:O→A→B→C→D→E→F→G→E→C→I→B→K→A→N→L→K→J→I→G→H→J→L→M→H→F→M→O→N→M。

思维训练4

1.如图两岸之间有两个小岛，岸与小岛、小岛与小岛间架有小桥，你能从任一岸出发不重复地走完所有小桥，到达另一岸吗?

2.学校要开展定向运动比赛，如图是它的平面图，在A~H中选两个准备设起点和终点，应设在哪里才能让学生不重复地走遍每条路?

竞赛强化

1.下列图形各有几个奇点?几个偶点?

2.请增加2条线段使下列图形能一笔画。(至少2种画法)

3.如下图形至少需要多少笔画才能画成?

4.如图是一张长方形纸片，上面画了一些线段，你能用剪刀沿着图中的线，一次连续地剪下得到10个三角形吗?

5.请减少1条线段使如图图形可以一笔画。

6.如图是植物园的平面图，要想走遍每条路且不重复走，应该怎样走?

7.一个送外卖小哥要走的街道如图所示，他从点A出发，要走遍各街道，最后回到点A，怎样走才能使所走的路程最短?

8.如图图形是否能一笔画?如果要去掉一条线段，使得所得的图形仍然能一笔画，请问这条线段是哪条?

9.图中的图形去掉哪条标记的线段后，会变成一笔画?

10.如图是公园的建设简图，黑色线条表示的是小路(包括外围的线)。

(1)游客能连续且不重复地走完所有的道路吗?请说明理由。

(2)如果可以，公园的入口可以设在哪一点?如果不可以，你能再为公园设计一条路，使得游客能连续且不重复地走完所有路吗?

思维训练1

1.(1)不是(2)是画图略(3)不是(4)是画图略。

2.这个图形能一笔画出，应以A点为起点，D点为终点，或D点为起点，A点为终点。

思维训练2

1.图中的奇点个数为4，一定可以用2笔画成。所以图形至少需要2笔才能画成。

2.图形的奇点个数为8，需要4笔才能画成，要想变成2笔画，只要奇点个数为4即可。如图所示(答案不唯一)：

思维训练3

1.图中奇点个数有6个，因此至少需要6÷2=3(笔)画。

2.图中奇点的个数有4个，因此至少需要2笔画出。

思维训练4

1.可以。两个岸与两个小岛可看成