2023-2024学年上海徐汇中学高一期末考数学试卷及答案（2024.06）.docx

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徐汇中学2023-2024学年第二学期高一年级数学期末

2024.06

一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）

1．已知，且，则点在第________象限．

2．在正方形中，向量与向量的夹角是________（用弧度制表示）．

3．若为锐角，，则________．

4．已知复数，，且复数满足，则在复平面内对应的点位于

第________象限．

5．已知，，若，则________．

6．已知数列是等比数列，且，，则________．

7．已知向量和，则在方向上的投影是________．

8．函数的部分图像如图所示，则________．

9．若复数满足，，且（i为虚数单位），则的最小值

为________．

10．已知数列满足：（为正整数），，若，则所有可能的取值集合为________．

11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形．已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是________．

12．定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数．设，且是的2倍伸缩周期函数．若对于任意的，都有，则实数的最大值为________．

二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）

13．“”是“复数是纯虚数”的（）条件．

A．必要不充分 B．充分不必要B．充要 D．既不充分又不必要

14．已知三角形的三条边长分别为、、，若，则此三角形是（）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能

15．函数的周期是，图象关于直线对称，则以下正确的是（）

A．的最大值是 B．在区间上是减函数

C．的图象过点 D．的图象的一个对称中心是

16．已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（）

A． B． C． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分48分）

17．（本题8分）已知是关于的方程（、）的一个虚根．

（1）求的值；

（2）记复，求复数的模．

18．（本题8分）已知向量，，．

（1）求函数的最大值及相应的值；

（2）在中，角为锐角，且，，，求边的长．

19．（本题10分）在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列．

（1）求等比数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和的最大值．

20．（本题10分）如图所示，是边长为100米的正方形地皮，其中是半径为90米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场．

（1）设，长方形的面积为，试建立关于的函数关系式；

（2）当为多少时，最大，并求最大值．

21．（本题12分）平面直角坐标系中、，设点、、、…、是线段的等分点，其中，．

（1）当时，试用、表示、；

（2）当时，求的值；

（3）当时，求的最小值．

四、附加题（本大题共有2题，满分10分，不计入总分）

1．对于项数为10的数列，若满足（其中i为正整数，），且，设，则的最大值为________．

2．对于实数，用表示不超过的最大整数，例如，．

已知，，则下列3个命题中真命题的个数为________．

（1）函数是周期函数；

（2）函数的图像关于直线对称；

（3）方程有2个实数根．

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参考答案

一、填空题

1.二;2.;3.;4.二;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.

11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形．已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】分别过作的垂线,垂足为,且,

因为点在正八边形上运动,所以在上的投影向量的起点为,终点在相等上移动,则当在上运动时,取得最大值,为

当在上运动时,取得最小值,为

所以的取值范围是.故答案为:.

12．定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数．设，且是的2倍伸缩周期函数．若对于任意的，都有，则实数的最大值为________．

【答案】

【解析】由题意,可知,当;当,;

以此类推,当;当,

当,令,得,或(舍)，,

所以的最大值为.

二、选择题

13.A14.B15.D16.C

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