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徐汇中学2023-2024学年第二学期高一年级数学期末
2024.06
一、填空题(本大题共有12题,每题3分,满分36分)
1.已知,且,则点在第________象限.
2.在正方形中,向量与向量的夹角是________(用弧度制表示).
3.若为锐角,,则________.
4.已知复数,,且复数满足,则在复平面内对应的点位于
第________象限.
5.已知,,若,则________.
6.已知数列是等比数列,且,,则________.
7.已知向量和,则在方向上的投影是________.
8.函数的部分图像如图所示,则________.
9.若复数满足,,且(i为虚数单位),则的最小值
为________.
10.已知数列满足:(为正整数),,若,则所有可能的取值集合为________.
11.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10,点在其边上运动,则的取值范围是________.
12.定义:若,则称是函数的倍伸缩周期函数.设,且是的2倍伸缩周期函数.若对于任意的,都有,则实数的最大值为________.
二、选择题(本大题共有4题,每题4分,满分16分)
13.“”是“复数是纯虚数”的()条件.
A.必要不充分 B.充分不必要B.充要 D.既不充分又不必要
14.已知三角形的三条边长分别为、、,若,则此三角形是()
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
15.函数的周期是,图象关于直线对称,则以下正确的是()
A.的最大值是 B.在区间上是减函数
C.的图象过点 D.的图象的一个对称中心是
16.已知是等比数列,公比为,若存在无穷多个不同的满足,则下列选项之中,不可能成立的为()
A. B. C. D.
三、解答题(本大题共有5题,满分48分)
17.(本题8分)已知是关于的方程(、)的一个虚根.
(1)求的值;
(2)记复,求复数的模.
18.(本题8分)已知向量,,.
(1)求函数的最大值及相应的值;
(2)在中,角为锐角,且,,,求边的长.
19.(本题10分)在各项均为正数的等比数列中,,且,,成等差数列.
(1)求等比数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和的最大值.
20.(本题10分)如图所示,是边长为100米的正方形地皮,其中是半径为90米的扇形草地,是弧上一点,其余部分都是空地,现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场.
(1)设,长方形的面积为,试建立关于的函数关系式;
(2)当为多少时,最大,并求最大值.
21.(本题12分)平面直角坐标系中、,设点、、、…、是线段的等分点,其中,.
(1)当时,试用、表示、;
(2)当时,求的值;
(3)当时,求的最小值.
四、附加题(本大题共有2题,满分10分,不计入总分)
1.对于项数为10的数列,若满足(其中i为正整数,),且,设,则的最大值为________.
2.对于实数,用表示不超过的最大整数,例如,.
已知,,则下列3个命题中真命题的个数为________.
(1)函数是周期函数;
(2)函数的图像关于直线对称;
(3)方程有2个实数根.
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参考答案
一、填空题
1.二;2.;3.;4.二;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.12.
11.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10,点在其边上运动,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】分别过作的垂线,垂足为,且,
因为点在正八边形上运动,所以在上的投影向量的起点为,终点在相等上移动,则当在上运动时,取得最大值,为
当在上运动时,取得最小值,为
所以的取值范围是.故答案为:.
12.定义:若,则称是函数的倍伸缩周期函数.设,且是的2倍伸缩周期函数.若对于任意的,都有,则实数的最大值为________.
【答案】
【解析】由题意,可知,当;当,;
以此类推,当;当,
当,令,得,或(舍),,
所以的最大值为.
二、选择题
13.A14.B15.D16.C
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