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概率统计参考答案(习题一)
1、写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点:
(1)同时郑三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和。
解:设三枚骰子点数之和为k,k=3,,4,5,…,18;则样本空间为
{k|k3,4,...,18},且事件A={k|k11,12,...,18},事件B=
{k|k3,4,...,14}。
(2)解:设从盒子中抽取的3只电子元件为(i,j,k),(i,j,k)为数列1,2,3,4,5的任意三个
元素构成的组合。则
Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}
A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。
2、下列式子什么时候成立?
解:AUB=A:成立的条件是B⊂A;(2)AB=A:成立的条件为A⊂B。
3、设A、B、C表示三事件,试将下列事件用A、B、C表示出来。
解:
(1)仅A发生:ABC;
(2)A、B、C都发生:ABC;
(3)A、B、C都不发生:ABC;
(4)A、B、C不都发生:ABC;
(5)A不发生,且B与C中至少发生一事件:A(BC);
(6)A、B、C中至少有一事件发生:AUBUC;
(7)A、B、C中恰好有一事件发生:ABC+ABC+ABC;
(8)A、B、C中至少二事件发生:
ABCABCABCABC=(AB)U(AC)U(BC);
(9)A、B、C中最多一事件发生:
ABCABCABCABC=(AB)U(AC)U(BC)。
4、设P(A)=0.5,P(B)=0.6,问:
(1)什么条件下,P(AB)取得最大值,最大值是多少?
解:由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)得到
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.5+0.6-0.6=0.5,此时,P(AUB)=0.6。
(2)什么条件下,P(AB)取得最小值,最小值是多少?
解:P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.5+0.6-1=0.1,此时,P(AUB)=1。
5、设P(A)0,P(B)0,将下列四个数
P(A),P(AB),P(A)+P(B),P(AUB)
按照由小到大的顺序排序,用符号=联系它们,并指出在什么情况下等式成立。
解:根据概率的性质,它们的大小关系为
P(AB)=P(A)=P(AUB)=P(A)+P(B)
第一个等号成立时,需要A⊂B,第二个等号成立时,需要B⊂A,第三个等号成立时,
需要AB=Φ。
6、设A、B、C为三个事件,证明:P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。
解:根据概率的性质:P(AUA)=P(A)+P(A)-P(AA),则有
121212
P(AUBUC)=P[(AUB)U(C)]=P(AUB)+P(C)-P[(AUB)C]
=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P[(AC)U(BC)]
=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-[P(A
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