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安徽省2024-2025学年高二数学上学期期中试题
一、单选题
1.已知空间向量,,则等于()
A. B. C. D.
2.双曲线的焦距是()
A. B.8 C.4 D.
3.若圆关于直线对称,则等于()
A. B. C.3 D.-3
4.如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点N是上的点,且.用,,表示向量的结果是()
A. B.
C. D.
5.过点作圆:的切线,直线:与切线平行,则切线与直线间的距离为()
A.4 B.2 C. D.
6.已知椭圆:的焦点分别为,,是椭圆上的动点,则下列结论正确的是()
A.
B.面积的最大值是
C.椭圆的离心率为
D.以线段为直径的圆与直线相切
7.过抛物线焦点F的直线,与抛物线交于A、B两点,设,,则()
A.-4 B.4 C. D.
8.已知双曲线:,,分别为双曲线的左右焦点,为双曲线上一点,且位于第一象限,若为锐角三角形,则的取值范围为()
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知点,,动点到直线的距离为,,则()
A.点的轨迹是椭圆 B.点的轨迹曲线的离心率等于
C.点的轨迹方程为 D.的周长为定值
10.已知点,均在圆:外,则下列表述正确的有()
A.实数的取值范围是
B.
C.直线与圆不行能相切
D.若圆上存在唯一点满意,则的值是
11.在长方体中,,,、、分别是、、上的动点,下列结论正确的是()
A.对于随意给定的点,存在点使得
B.对于随意给定的点,存在点使得
C.当时,
D.当时,平面
12.下列说法正确的是()
A.椭圆上随意一点(非左右顶点)与左右顶点连线的斜率乘积为
B.双曲线右支和右焦点所形成的弦中最短的弦长为
C.抛物线上两点,,则弦经过焦点的充要条件是
D.若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与该抛物线相切
三、填空题
13.已知椭圆:的两个焦点分别为,,过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点,,则的周长是__________.
14.在圆上有且仅有三个点到直线的距离为2,则的值为__________.
15.一条光线从点射出,经轴反射,其反射光线所在直线与圆相切,则反射光线所在的直线方程为__________.
16.设,分别为双曲线的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点,且满意,则该双曲线的离心率为__________.
四、解答题
17.过点作斜率为的直线与椭圆:相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,求椭圆的离心率.
18.如图,在长方体中,,,E是CD中点.
(1)和所成角的大小;
(2)证明:
19.(1)求焦点在坐标轴上,长轴长为6,焦距为4的椭圆标准方程;
(2)求与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线标准方程.
20.直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,,,,M是侧棱上一点,设.
(1)若,求h的值;
(2)若,求直线与平面ABM所成的角的正弦值.
21.已知抛物线C:的焦点为F,点在抛物线C上,且的面积为(为坐标原点).
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线:与抛物线C交于M,N两点,若以MN为直径的圆经过O点,求直线的方程.
22.已知在平面直角坐标系xOy中,圆O:与y轴交于C,D两点,点P在第一象限且为圆O外一点,直线PC,PD分别交圆O于点A,B,交x轴于点Q,.
(1)若直线BD的倾斜角为60°,,求点P的坐标;
(2)过P作圆O的两条切线分别交x轴于点M,N,试问是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的坐标运算等基础学问,考查运算求解实力,是基础题.
随意空间向量都可以用三维有序实数组表示,干脆利用空间向量的加减运算法则求解即可.
【解答】
解:∵空间向量,,
∴.
故选:A.
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程和焦距,属于简洁题.
求出的值,进而求出焦距.
【解答】
解:依据双曲线的标准方程可得,
焦距,
故选:B.
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系,解题的关键是推断出直线过圆心,属于简洁题.
由题意,直线过圆心,求出圆心坐标,将之代入直线的方程,解方程求出参数的值.
【解答】
解:圆可变为,
故圆心的坐标是,
又圆关于直线对称,
即直线过圆心,
∴,解得,
故选:B.
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量及其线性运算,属于基础题.
在中,由向量加法的三角形法则知,用表示出,由,再用,,表示向量即可求解.
【解答】
解:连接,
在中,,
∵是的
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