第二章 圆锥曲线知识归纳与题型突破（5大考点8大题型）（解析版）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）.docx

第二章圆锥曲线知识归纳与题型突破

01

01考点归纳

考点一、求圆锥曲线的标准方程

考点二、求参数或取值范围和最值问题

考点三、有关离心率的问题

考点四、直线与圆锥曲线的位置关系

考点五、综合应用

02

02知识速记

椭圆

1．椭圆的定义

如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a|F1F2|，则平面内满足eq\o(□,\s\up1(1))|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的eq\o(□,\s\up1(2))焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的eq\o(□,\s\up1(3))焦距．

其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

①若2a＞2c，则集合P为椭圆；

②若2a＝2c，则集合P为线段；

③若2a＜2c，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程与几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1

(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1

(ab0)

图形

性

质

范围

eq\o(□,\s\up1(4))－a≤x≤a，－b≤y≤b

eq\o(□,\s\up1(5))－b≤x≤b，－a≤y≤a

对称性

对称轴：eq\o(□,\s\up1(6))坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1eq\o(□,\s\up1(7))(－a，0)，

A2eq\o(□,\s\up1(8))(a，0)，

B1eq\o(□,\s\up1(9))(0，－b)，

B2eq\o(□,\s\up1(10))(0，b)

A1eq\o(□,\s\up1(11))(0，－a)，

A2eq\o(□,\s\up1(12))(0，a)，

B1eq\o(□,\s\up1(13))(－b，0)，

B2eq\o(□,\s\up1(14))(b，0)

轴

长轴A1A2的长为eq\o(□,\s\up1(15))2a；

短轴B1B2的长为eq\o(□,\s\up1(16))2b

焦距

|F1F2|＝eq\o(□,\s\up1(17))2c

离心率

e＝eq\f(c,a)∈eq\o(□,\s\up1(18))(0，1)

a，b，c间的关系

c2＝eq\o(□,\s\up1(19))a2－b2

双曲线

1．双曲线的定义

一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝eq\o(□,\s\up1(1))2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的eq\o(□,\s\up1(2))焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的eq\o(□,\s\up1(3))焦距．

数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.

①若ac，则集合P为双曲线；

②若a＝c，则集合P为两条射线；

③若ac，则集合P为空集．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1

(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1

(a0，b0)

图形

性

质

范围

x≥a或x≤－a，y∈R

eq\o(□,\s\up1(4))y≤－a或y≥a，x∈R

对称性

对称轴：eq\o(□,\s\up1(5))坐标轴；对称中心：eq\o(□,\s\up1(6))原点

顶点

A1eq\o(□,\s\up1(7))(－a，0)，

A2eq\o(□,\s\up1(8))(a，0)

A1eq\o(□,\s\up1(9))(0，－a)，

A2eq\o(□,\s\up1(10))(0，a)

渐近线

eq\o(□,\s\up1(11))y＝±eq\f(b,a)x

eq\o(□,\s\up1(12))y＝±eq\f(a,b)x

离心率

e＝eq\o(□,\s\up1(13))eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)

实虚轴

实轴：线段A1A2，|A1A2|＝eq\o(□,\s\up1(14))2a

虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝eq\o(□,\s\up1(15))2b

a，b，c

的关系

c2＝eq\o(□,\s\up1(16))a2＋b2

3．等轴双曲线

(1)定义：实轴与虚轴eq\o(□,\s\up1(17))相等的双曲线称为等轴双曲线，其方程写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．

(2)性质：①a＝b；②e＝eq\r(2)；

③两条渐近线y＝±x互相垂直；

④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．

抛物线

1．抛