2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版高考解答题专项突破（一） 第2课时 利用导数证明不等式含答案.doc

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版高考解答题专项突破（一）第2课时利用导数证明不等式第2课时利用导数证明不等式

考点一直接构造函数证明不等式

例1(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当a0时，f(x)2lna＋eq\f(3,2).

解(1)因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，

所以f′(x)＝aex－1，

当a≤0时，由于ex0，则aex≤0，

故f′(x)＝aex－10恒成立，

所以f(x)在R上单调递减；

当a0时，令f′(x)＝aex－1＝0，

解得x＝－lna，

当x－ln