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第03讲实数
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理(吃透教材)
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1.理解无理数与实数的概念;
2.理解实数与数轴上的点一一对应;
3.掌握实数大小的比较方法及运算.
一、实数的基础
实数的定义:有理数和无理数统称为实数.
实数的分类:
见思维导图
二、实数的运算
实数的四则运算:
当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,又增加了非负数的开平方运算,任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时,有理数的运算法则及性质等同样适用.
1.实数的加法法则:1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
2)异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
2.实数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数.
3.实数的乘方法则:1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
2)任何数同0相乘,都得0.
4.实数的除法法则:1)除以一个不为0的数,等于乘以这个数的倒数;
2)0除以任何不为0的数,都得0.
5.运算顺序:先进行乘方和开方运算,再算乘除,最后算加减,如果遇到括号,则先进行括号里的运算.
三、比较实数的大小
1)法则比较法:根据“正数大于0,负数小于0,正数大于负数;两个负数比较大小,绝对值大的数反而小”进行比较;
2)比较被开方数:如果两个数的根指数相同,我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小;
3)数轴比较法:根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数,结合图形比较,这个方法适用于多个实数比较大小;
4)作差比较法:a,b是任意两个实数,若a-b0,则ab;若a-b=0,则a=b;若a-b0,则ab.
5)作商比较法:a、b为正数,若QUOTE1,则ab;若QUOTE=1,则a=b;若QUOTE1,则ab
a、b为负数,若QUOTE1,则ab;若QUOTE=1,则a=b;若QUOTE1,则ab
6)倒数比较法:若QUOTEQUOTE,ab0,则ab;
7)平方比较法:a、b为正数,若a2b2,则ab.a、b为负数,若a2b2,则ab.
【考点一实数的分类】
例1.(23-24八年级上·贵州黔东南·期中)将下列各数填入相应的集合内:
.
(1)有理数集合:{???????????};
(2)无理数集合:{???????????};
(3)正实数集合:{???????????};
(4)负实数集合:{???????????}.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查实数的分类:
(1)根据分数和整数统称为有理数,作答即可;
(2)根据无理数是无限不循环小数,作答即可;
(3)根据大于0的实数,是正实数,作答即可;
(4)根据小于0的实数,是负实数,作答即可.
【详解】(1)解:
有理数集合:{}
(2)无理数集合:{}
(3)正实数集合:{}
(4)负实数集合:{}
变式1-1.(23-24八年级上·广东佛山·期中)将下列各数的序号填入相应的括号内:
①;②;③0;④;⑤;⑥;⑦;⑧;⑨2;⑩.
负分数集合:{___________________…);
整数集合:{___________________…);
正有理数集合:{___________________…);
无理数集合:{___________________…).
【答案】负分数集合:{⑦,⑩);整数集合:{①,③,⑤,⑨);正有理数集合:{②,⑥,⑨);无理数集合:{④,⑧).
【分析】本题主要考查了实数的分类,解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义:有理数是整数和分数的统称,无理数是无限不循环小数的统称.
【详解】解:①是整数,是负有理数;
②是正有理数;
③0是整数;
④是无理数;
⑤是整数;
⑥是正有理数;
⑦是负分数;
⑧是无理数;
⑨2是整数,是正有理数;
⑩是负分数.
∴负分数集合:{⑦,⑩);
整数集合:{①,③,⑤,⑨);
正有理数集合:{②,⑥,⑨);
无理数集合:{④,⑧).
变式1-2.(21-22八年级·江苏·假期作业)把下列各数分别填入相应的大括号中.
,,0,,,,,,,,,.
(1)正数集合:;
(2)负数集合:;
(3)负整数集合:;
(4)非负分数集合:;
(5)无理数集合:.
【答案】(1),,,,,,
(2),,,
(3)
(4),,,
(5),
【分析】(1)先化简,再根据正数的含义作答即可;
(2)先化简
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