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概率的基本性质一、事件的关系与运算1.包含关系如果事件A发生,则事件B 发生,这时我们就说事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作B?A(或A?B).注:(1)与集合类比,B包含A,可如图表示.(2)不可能事件记作?,显然C??(C为任一事件).(3)事件A也包含于事件A,即A?A.一定2.相等事件若事件A发生,则B必发生;反过来,若事件B发生,则A必发生,则称事件A与B相等,记作A=B.一般地,对于两个事件A与B,如果 ,则A=B.(1)两个相等的事件A、B总是同时发生或同时不发生.(2)所谓A=B,就是A、B是同一个事件,有些时候验证两个事件是否相等是非常有用的.B?A且A?B3.并(和)事件若某事件发生当且仅当 ,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或称A与B的和事件),记作A∪B(或A+B).(1)与集合定义类似,并事件可如图表示.(2)事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件,即A∪B=B∪A.如:掷骰子试验中,A={出现偶数点},B={点数大于3},则A∪B= .事件A发生或事件B发生{2,4,5,6}(3)并事件包含三种情形:事件A发生,事件B不发生;事件A不发生,事件B发生;事件A、B同时发生.即事件A、B中至少 ,称作A∪B发生.(4)事件A,B中只要有一个发生,则A∪B发生.有一个发生4.交(积)事件若某事件发生当且仅当 ,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或称积事件),记作A∩B(或AB).(1)用集合形式表示,如图.(2)事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件,即A∩B=B∩A.例如:在投掷骰子的试验中,事件A={出现的点数大于3},B={出现的点数小于5},则A∩B= .事件A发生且事件B发生{出现的点数为4}5.互斥事件若A∩B为 ,即A∩B=?,那么称事件A与事件B互斥.(1)A、B互斥是指事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生,也称作互不相容事件.(2)如果事件A与B是互斥事件,那么A与B两事件同时发生的概率为0.(3)与集合类比,可如图表示.不可能事件(4)推广:如果事件A1,A2,…,An中的任何两个都互斥,就称事件A1,A2,…,An彼此互斥,从集合角度看,n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交.如在一次投掷骰子的实验中,若C1={出现1点};C2={出现2点};C3={出现3点};C4={出现4点或出现5点};C5={出现6点};则事件C1,C2,C3,C4,C5彼此互斥.6.对立事件若A∩B为 ,A∪B为 ,那么事件A与事件B互为对立事件.即不可能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事件.习惯上将事件A的对立事件记作.(1)事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.事件A与事件B在一次试验中不会同时发生.不可能事件必然事件(2)对立事件是针对两个事件来说的,一般地,两个事件对立,则两个事件必是互斥事件;反之,两事件是互斥事件,却未必是对立事件.(3)对立事件是一种特殊的互斥事件,若A与B是对立事件,则A与B互斥且A∪B(或A+B)为必然事件.(4)从集合角度看,事件A的对立事件,是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集.(5)与集合类比,可如图表示.
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