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第一讲:导数的基本概念与运算
问题层级图
目标层级图
课前检测(10mins):
1求函数在处的导数
2.求的导数
3.求函数的导数
4.已知函数的导函数为,且满足,则
课中讲解:
一.理解导数的概念LV.1
导数的概念
例1.
设函数在处的瞬时是,我们称它为在处的,记为,则
例2.
求函数在的瞬时变化率
例3.
如图,函数的图象是折线段,其中,,的坐标分别为,,,则=;函数在处的导数。
例4.
已知函数在处可导,则.
过关检测(6min):
1.设函数的图像上一点以及邻近一点,则等于。
2.求函数在的导数.
3.已知函数在处可导,则
二.熟记导数的运算公式LV.2
初等函数的导数公式表
,为正整数
,为有理数
注:,称为的自然对数,其底为,是一个和一样重要的无理数
注意.
例1.
求下列函数的导数:
,,
例2.
求下列函数的导数:
,,
例3.
下列结论不正确的是()
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
过关检测(6min):
1.求下列函数的导数:
(1)(2)(3)
2.求下列函数导数值:
(1),求,
(2),求
(3),求
三.导数的运算法则LV.3
导数的四则运算法则:
⑴函数和(或差)的求导法则:
设,是可导的,则,即两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数和(或差).
⑵函数积的求导法则:
设,是可导的,则,即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个函数的导数.由上述法则即可以得出,即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数.
⑶函数的商的求导法则:
设,是可导的,,则.特别是当时,有.
例1.求下列函数的导数
(1); (2);
(3); (4).
例2.求下列函数的导数:,,
例3.的导数为
A. B. C. D.
例4.若函数满足,则.
过关检测(8min):
1.求下列函数的导数:
(1); (2);
(3); (4).
四.复合函数的求导LV.3
一般地,对于两个函数和,如果通过变量可以表示成的函数。那么称这个函数为函数和的复合函数,记。复合函数的导数和函数的导数间的关系为(注:表示对的导数,表示对的导数)
例1.函数的导数是________.
例2.函数
例3.函数的导数是________.
例4.设,则________.
过关检测(8min):
1.求下列复合函数的导数
(1)
(2)
(3)
课后练习
补救练习(6min):
求下列函数的导数
(1)
(2)
(3)
(4)
巩固练习(8min):
求下列函数的导数
(1); (2);
(3); (4)
拔高练习(10min):
1.求下列函数的导数
(1)
(2)
(3)
2.已知,记,,…,,
则
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