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第三讲 导数单调性
问题层级图
目标层级图
课前检测(10mins)
1.已知函数,求的单调区间.
【答案】的单增区间为,单减区间为
【解析】的定义域为,
令,解得
令,解得
所以,的单增区间为,单减区间为
2.已知函数.当时,讨论的单调性.
【答案】当时,函数在上单调递减,在上单调递增;
当时,函数在上单调递减,在上单调递增;
在上单调递减.
【解析】因为,
所以,.
令,,
①当时,,,
当时,,此时,函数单调递减;
当时,,此时,函数单调递增.
②当时,由即解得,.
此时,
所以当时,,此时,函数单调递减;
时,,此时,函数单调递增;
时,,函数单调递减.
综上所述:
当时,函数在上单调递减,在上单调递增;
当时,函数在上单调递减,在上单调递增;
在上单调递减.
3.已知函数.若,函数在上是单调函数,求的取值范围.
【答案】
【解析】函数的定义域是,
所以,
要使在上是单调函数,只要或在上恒成立.
当时,恒成立,所以在上是单调函数;
当时,令,得,,
此时在上不是单调函数;
当时,要使在上是单调函数,只要,即
课中讲解
会判断不含参函数单调性LV.3
函数的单调性:在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内容单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减。如果,那么函数在这个区间上是常数函数。
注:函数在内单调递增,则,且不恒等于零。是在内单调递增的充分不必要条件。
例1:
求函数在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。
【答案】函数在区间内是增函数;在区间内是减函数.
【解析】
令
解此不等式,得
因此,函数在区间内是增函数.
令.
解此不等式,得
因此,函数在区间内是减函数.
例2:
求函数的单调区间.
【答案】的单调递增区间为,;单调递减区间为.
【解析】
令
解此不等式,得或.
因此,的单调递增区间为和.
令
解此不等式,得.
因此,的单调递减区间为.
例3:
求函数的单调区间.
【答案】的单调递增区间为,的单调递增区间为
【解析】
令
解此不等式,得.
因此,的单调递增区间为.
令
解此不等式,得.
因此,的单调递减区间为.
例4:
求函数的单调区间.
【答案】的单调递增区间为,单调递减区间为
【解析】
令
解此不等式,得.
因此,的单调递增区间为.
令
解此不等式,得.
因此,的单调递减区间为.
例5:
已知函数.判断在上的单调性,并说明理由;
【答案】在区间单调递增.
【解析】因为,
所以
因为,所以.
所以.
所以在区间单调递增.
例6:
求函数单调区间
【答案】单调递减区间为,单调递增区间为
【解析】,
令,
恒成立,即恒单调递增,即恒单调递增
只有一个零点,且
当时,,则的单调递增区间为
当时,,则的单调递增区间为
例7:
求函数的单调区间.
【答案】函数在上单调递增.
【解析】,,令,
令,
当变化时,,的变化情况如下表:
极小值
,
恒成立,即恒成立,
函数在上单调递增.
过关检测(10mins)
1.已知函数,求函数的单调区间;
【答案】的增区间为,减区间为。
【解析】,定义域为
,令得
极小值
的增区间为,减区间为
会判断不含参函数单调性LV.3
例1:
设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则导函数的图象可能为()
【答案】D
例2:
已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),则的图象大致是 ()
【答案】C
过关检测(5mins)
1.已知上可导函数的图象如图所示,则不等式的解集为 ()
A. B.
C.D.
【答案】D
2.函数已知定义在上的函数如图,则的解集为
A.
B.
C.
D.
【答案】
二.会讨论含参一次型函数单调性LV.4
例1:
已知函数,(其中常数),求函数的定义域及单调区间;
【答案】函数的定义域为.
的单调递增区间为,单调递减区间为,.
【解析】函数的定义域为.
.
由,解得.
由,解得且.
∴的单调递增区间为,单调递减区间为,.
例2:
已知函数,,,求的单调区间.
【答案】当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,以的单调递增区间是,单调递减区间是.
【解析】.
因为,所以.
由得.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增;
当时,,,的变化情况如下表:
+
0
-
极大值
所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
综上所述,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,以的单调递增区间是,单调递减区间是.
例3:
已知函数(),求的单调区间.
【答案】函数的单调递增区间为,单调递减区间为
【解析】由已知得,.
(ⅰ)当时,恒成立,则函数在为增函数;
(ⅱ)当时,由,得;由,得;
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
例4:
设函数.求函数的单调区间.
【答案】当时,的单调递增区间为
当时
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