第三讲-导数与单调性解析版-2022-2023高二下学期人教A版.docx

第三讲 导数单调性

问题层级图

目标层级图

课前检测（10mins）

1．已知函数,求的单调区间.

【答案】的单增区间为,单减区间为

【解析】的定义域为,

令,解得

令,解得

所以,的单增区间为,单减区间为

2.已知函数.当时,讨论的单调性.

【答案】当时,函数在上单调递减,在上单调递增；

当时,函数在上单调递减,在上单调递增；

在上单调递减.

【解析】因为,

所以,.

令,,

①当时,,，

当时,,此时,函数单调递减；

当时,,此时,函数单调递增.

②当时,由即解得,.

此时,

所以当时,,此时,函数单调递减；

时,,此时,函数单调递增；

时,,函数单调递减.

综上所述：

当时,函数在上单调递减,在上单调递增；

当时,函数在上单调递减,在上单调递增；

在上单调递减.

3.已知函数．若,函数在上是单调函数,求的取值范围．

【答案】

【解析】函数的定义域是,

所以,

要使在上是单调函数,只要或在上恒成立．

当时,恒成立,所以在上是单调函数；

当时,令,得,,

此时在上不是单调函数；

当时,要使在上是单调函数,只要,即

课中讲解

会判断不含参函数单调性LV.3

函数的单调性：在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内容单调递增；如果,那么函数在这个区间内单调递减。如果,那么函数在这个区间上是常数函数。

注：函数在内单调递增,则,且不恒等于零。是在内单调递增的充分不必要条件。

例1：

求函数在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。

【答案】函数在区间内是增函数；在区间内是减函数.

【解析】

令

解此不等式,得

因此,函数在区间内是增函数.

令.

解此不等式,得

因此,函数在区间内是减函数.

例2：

求函数的单调区间.

【答案】的单调递增区间为,；单调递减区间为.

【解析】

令

解此不等式,得或.

因此,的单调递增区间为和.

令

解此不等式,得.

因此,的单调递减区间为.

例3：

求函数的单调区间.

【答案】的单调递增区间为，的单调递增区间为

【解析】

令

解此不等式，得.

因此，的单调递增区间为.

令

解此不等式，得.

因此，的单调递减区间为.

例4：

求函数的单调区间.

【答案】的单调递增区间为，单调递减区间为

【解析】

令

解此不等式,得.

因此,的单调递增区间为.

令

解此不等式,得.

因此,的单调递减区间为.

例5：

已知函数.判断在上的单调性,并说明理由;

【答案】在区间单调递增.

【解析】因为,

所以

因为,所以.

所以.

所以在区间单调递增.

例6：

求函数单调区间

【答案】单调递减区间为，单调递增区间为

【解析】，

令，

恒成立，即恒单调递增，即恒单调递增

只有一个零点，且

当时，，则的单调递增区间为

当时，，则的单调递增区间为

例7：

求函数的单调区间.

【答案】函数在上单调递增.

【解析】,,令,

令,

当变化时,,的变化情况如下表:

极小值

,

恒成立,即恒成立,

函数在上单调递增.

过关检测（10mins）

1.已知函数,求函数的单调区间;

【答案】的增区间为,减区间为。

【解析】,定义域为

,令得

极小值

的增区间为,减区间为

会判断不含参函数单调性LV.3

例1：

设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为()

【答案】D

例2：

已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则的图象大致是 ()

【答案】C

过关检测（5mins）

1.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ()

A． B．

C．D．

【答案】D

2.函数已知定义在上的函数如图,则的解集为

A.

B.

C.

D.

【答案】

二.会讨论含参一次型函数单调性LV.4

例1:

已知函数,（其中常数）,求函数的定义域及单调区间;

【答案】函数的定义域为．

的单调递增区间为,单调递减区间为,．

【解析】函数的定义域为．

.

由,解得.

由,解得且．

∴的单调递增区间为,单调递减区间为,．

例2:

已知函数,,,求的单调区间.

【答案】当时,在上单调递减;

当时,在上单调递增;

当时,以的单调递增区间是,单调递减区间是.

【解析】.

因为,所以.

由得.

当时,,在上单调递减;

当时,,在上单调递增;

当时,,,的变化情况如下表:

+

0

-

极大值

所以的单调递增区间是,单调递减区间是.

综上所述,当时,在上单调递减;

当时,在上单调递增;

当时,以的单调递增区间是,单调递减区间是.

例3：

已知函数(),求的单调区间.

【答案】函数的单调递增区间为,单调递减区间为

【解析】由已知得,.

（ⅰ）当时,恒成立,则函数在为增函数;

（ⅱ）当时,由,得;由,得;

所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.

例4：

设函数．求函数的单调区间.

【答案】当时,的单调递增区间为

当时