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第五讲 导数最值问题
问题层级图
目标层级图
课前检测(15mins)
1.已知函数,求函数的最小值.
2.,求函数的最小值;
3.已知函数.当时,求函数在区间上的最大值.
课中讲解
一.会求不含参函数的最值LV.3
1.函数最大值
一般地,设函数的定义域为.如果存在实数满足:
①对于任意都有.
②存在,使得.
那么,称是函数的最大值.
2.函数最小值
一般地,设函数的定义域为.如果存在实数满足:
①对于任意都有.
②存在,使得.
那么,称是函数的最小值.
注意:对于一个函数来说,不一定有最值,若有最值,则最值一定是值域中的一个元素.
例1:
求函数在区间内的最大值.
例2:
已知函数,求函数在区间上的最大值和最小值.
例3:
已知函数.设为曲线在点处的切线,其中.
(Ⅰ)求直线的方程
(Ⅱ)设为原点,直线分别与直线和轴交于两点,求的面积的最小值.
过关检测(15mins)
1.设函数,求的最小值;
2.已知函数,求在区间上的最大值和最小值.
二.会求解含参函数的最值LV.4
例1:
已知函数.当时,求函数在区间上的最小值.
例2:
设函数,.求函数在QUOTE上的最小值.
例3:
已知函数与函数,设,求函数在上的最小值.
例4:
已知函数设,求在区间上的最大值和最小值.
例5:
已知函数,其中.当时,证明:存在最小值.
过关检测(10mins)
1.已知函数,求在区间上的最小值;
三.已知最值会求原函数参数值LV.5
例1:
已知函数是否存在实数,使的最小值是?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
例2:
已知函数(其中),函数的导函数为,且.若函数在区间上的最小值为,求的值.
例3:
已知函数.当时,若函数的最大值为,求的值.
过关检测(10mins)
1.已知函数(其中是常数,,),函数的导函数为,且.当时,若函数在区间上的最大值为,试求的值
2、已知函数,其中.证明:是函数存在最小值的充分而不必要条件.
课后练习
补救练习(10mins)
1.已知函数,其中是自然对数的底数,.当时,求函数的最小值.
巩固练习(10mins)
1.已知函数,其中.求在区间上的最小值.(其中是自然对数的底数)
拔高练习(20mins)
1.已知函数,.若函数的最小值为,试求的值.
2.已知函数.设为曲线在点处的切线,其中.设直线分别与曲线和射线交于两点,求的最小值.
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