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高三年级（数学）参考答案第PAGE1页（共NUMPAGES1页）
海淀区2023—2024学年第二学期期中练习
高三数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）A （3）B （4）C（5）D
（6）A （7）B （8）C （9）D（10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（?11?） （12）
（13） （14）（答案不唯一）
（15）②③④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由正弦定理及，得
.
因为，所以.
所以.
所以.
因为，
所以，即.
（Ⅱ）由余弦定理得.
因为，
所以.
因为，
所以.
所以的面积为.
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）取的中点，连接，.
因为为的中点，
所以，.
因为，
所以.
所以，，，四点共面.
因为平面，平面平面，
所以.
所以.
所以.
（Ⅱ）取的中点，连接，.
由（Ⅰ）知.
所以.
因为，
所以四边形是平行四边形.
所以，.
因为，所以.
所以，即.
选条件①：.
（ⅰ）因为，，
所以.
所以.
因为，所以.
所以，即.
所以平面.
（ⅱ）由（ⅰ）知平面.
所以.
因为，，
如图建立空间直角坐标系.
则
，，.
所以，，.
设平面的法向量为，则
即
令，则，.于是.
因为为平面的法向量，且，
所以二面角的余弦值为.
选条件③：.
（ⅰ）所以.
因为，，
所以.
所以，即.
因为，
所以平面.
（ⅱ）同选条件①．
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，
（ⅰ）由表可知，科普过程性积分不少于分的学生人数为.
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于分的频率为．
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于分的概率估计为．
（ⅱ）根据题意，从样本中成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的频率为.
所以从该校学生活动成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的概率估计为.同理，从该校学生活动成绩不低于分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为分的概率估计为.
由表可知的所有可能取值为．
，，
．
所以的数学期望．
（Ⅱ）．
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意知.设，，则.
因为的离心率为，
所以，即．
所以，.
所以的值为，点的坐标为．
（Ⅱ）由题意可设（），，，则，.①
因为,
所以.
所以.②
因为，，三点共线，，
所以.③
由①②③可得.
由（Ⅰ）可知，.
所以
.
所以，即.
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）因为，
所以.
令，得．
与的变化情况如下表：
↗
↘
所以，函数的单调递增区间是；单调递减区间是．
（Ⅱ）令，则.
由（Ⅰ）可得：函数的单调递增区间是；单调递减区间是．
所以在时取得最大值.
所以当时，；当时，，即当时，.
所以在上存在最大值的充分必要条件是，即.
令，则.
因为，所以是增函数.
因为，
所以的充要条件是.
所以的取值范围为.
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）,．
（Ⅱ）由题意知.
当时，因为，，所以.
因为，且，均为正整数，
所以，或.
所以.
因为，，是互不相等的正整数，所以必有一项大于.
所以.
所以，不合题意.
当时，对于数列：有.
综上所述，的最小值为.
（Ⅲ）因为，，
所以，.
（ⅰ）若，则当时，至少以下情况之一成立：
①，这样的至多有个；
②存在，，这样的至多有个.
所以小于的至多有个.
所以.
令，解得.
所以.
（ⅱ）对，若，且，因为，所以当时，至少以下情况之一成立：
，这样的至多有个；
存在，且，这样的至多有个.
所以.
令，解得，即，其中表示不大于的最大整数.
所以当时，；
综上所述，定义，，则.
依次可得：，，，，，，，，.
所以.
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