第四讲-导数的极值解析版-2022-2023高二下学期人教A版.docx

第四讲 导数极值

问题层级图

目标层级图

课前检测（15mins）

1.求函数极值;

【答案】极小值

【解析】令,即解得。

当时,;当时,,

所以在上单调递减,在上单调递增,

所以函数在处取得极小值,无极大值。

2.已知函数(,为自然对数的底数).求函数的极值.

【答案】当时,函数无极小值.

当,在处取得极小值,无极大值.

【解析】,

①当时,,为上的增函数,

所以函数无极值.

②当时,令,得,.

,;,.

所以在上单调递减,在上单调递增,

故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.

综上,当时,函数无极小值

当,在处取得极小值,无极大值

3.已知函数,，若在处取得极值,求的值;

【答案】

【解析】定义域为

,因为函数在处取得极值，所以有,

解得

经检验当在处取得极小值，符合题意。

课中讲解

极值的几何意义LV.3

例1:

函数的极值点_________

【答案】

【解析】

（两个）（一个）

例2:

已知是定义域为的偶函数，当时，.那么函数的极值点的个数是

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】

（两个）（一个）又因为是偶函数，所以，所以也是一个极值点。

过关检测（10mins）

1.在上定义运算（、为实常数）.记令.如果在处有极值试确定、的值。

【答案】

【解析】依题意

得或

若

，递减，无极值。

若

，直接讨论知，在处极大值，

所以

求不含参数的函数的极值LV.4

适用于不含参数的函数.

的极值.

【答案】极大值为，极小值为

【解析】定义域

令

（0，1）

1

（1，2）

2

+

0

0

+

极大值

极小值

极大值，极小值

例2:

求函数的极值.

【答案】极小值为，无极大值

【解析】

，或

在递减，在递增。

所以极小值为

无极大值

例3：

已知函数，求函数的极大值.

【答案】极大值

【解析】

令得或（舍）

随的变化情况如下表：

0

极大值

所以当时，取得极大值

例4：

已知函数.求证：1是函数的极值点.

【答案】1是函数的极值点.

【解析】的定义域为

由得

当时，，，,故在上单调递增；

当时，，，，故在上单调递减；

所以1是函数的极值点.

过关检测（15mins）

1.求函数的极值

【答案】有极大值，无极小值.

【解析】.

令,得

因为,所以

与在区间上的变化情况如下:

所以的单调递增区间为,单调递减区间为.

有极大值，无极小值.

2.求函数的极值.

【答案】极小值,无极大值.

【解析】函数定义域为

求导，得

令,解得.

当变化时，与的变化情况如下表所示:

极小值

所以函数的单调增区间为,单调减区间为

所以函数有极小值,无极大值.

3.已知函数.设,求函数的极值.

【答案】的极小值为,无极大值.

【解析】,函数定义域为:

,

极小值

故的极小值为,无极大值.

三．会讨论含参函数的极值LV.4

例1:

设函数.求的极值.

【答案】在处取得极小值.

【解析】由

所以的定义域为

令解得

与在区间上的情况如下:

所以,的单调减区间为,单调增区间为.

在处取得极小值.

过关检测（15mins）

已知函数.求的极值；

【答案】

【解析】当时，令恒成立，所以函数无极值

当时，令=0，解得

+

0

-

2.已知函数（）求证:1是的唯一极小值点;

【解析】

（）

设,则

故在是单调递增函数,

又,故方程只有唯一实根

当变化时,,的变化情况如下:

1

极小值

故在时取得极小值,即1是的唯一极小值点.

四．会已知极值求参数LV.4

例1:

已知函数,.若在处取得极小值,求的值;

【答案】

【解析】

由在处取得极小值,得

所以(经检验适合题意)

例2：

已知函数,其中实数.判断是否为函数的极值点,并说明理由.

【答案】是函数的极值点，且为极小值点.

【解析】

解：（I）由可得函数的定义域为

令可得

因为，所以

①当时，，所以，随的变化如下：

极小值

②当时，，，随的变化如下：

极大值

极小值

综上，是函数的极值点，且为极小值点.

例3：

设函数.若在处取得极小值,求的取值范围.

【答案】

【解析】（i）当时,令,

0

极大值

所以,当时,取极大值,不符合题意.

（ii）当时,令

极小值

极大值

所以,当时,取极大值,不符合题意.

（iii）当时

（1）当时,即时

极大值

极小值

所以,当时,取极小值,符合题意.

（2）当时,即时,,单调递增,

所以无极值,不符合题意.

（3）当时,即时.

极大值

极小值

所以,当时,取极大值,不符合题意.

综上所述:

例4：

已知函数.设,若函数在区间上存在极值点,求的取值范围.

【解析】（1）当时,由,函数在上为减函数,

所以不存在极值点;

（2）当时,此时.

令,解得或,

但,所以当,,时,函数为减函数,