第一章 直线与圆（A考点梳理卷）（解析版）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）.docx

直线与圆单元测试（A考点梳理卷）

姓名______班级______考号______

考点一、直线与直线的方程

1．已知直线的斜率为，则（????）

A．3 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由直线的一般式得斜率，即可求出答案.

【详解】因为的斜率为，

所以，则.

故选：B.

2．如果直线与互相垂直，那么a的值等于（???）

A．－1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可.

【详解】因为直线与互相垂直，

所以，解得.

故选：C.

3．直线的倾斜角的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.

【详解】直线的斜率为，

由于，设倾斜角为，

则，，

所以.

故选：B.

4．若两条直线和平行，则实数的值为（????）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】由直线平行求出，注意检验重合情形即可.

【详解】因为两直线平行，

所以，

解得或，

当时，两直线重合，舍去，

故选：D

5．已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（????）

A．6 B． C． D．

【答案】A

【分析】画出草图可知，点M、点N在直线同侧，运用对称性即可求得结果.

【详解】设点关于直线的对称点为，

则，解得，即，

所以．

????

故选：A.

6．（多选）已知直线，直线，则（????）

A．当时， B．当时，

C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点

【答案】BC

【分析】

通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误.

【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确；

对于B，时，，因为，所以，B正确；

对于C，当时，且，解得，

此时，与之间的距离为，C正确；

对于D，，令，解得，

所以直线过定点，D不正确.

故选：BC.

7．（多选）已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（????）

A．存在使最小 B．存在使最小

C．存在使最小 D．存在使最小

【答案】ABD

【分析】

A：先求关于的对称点，根据与的交点坐标即可判断；

B：设出点坐标，根据二次函数的性质求解出取最小值时点坐标；

C：结合图示进行分析判断；

D：根据绝对值的特点先判断出取最小值时点的位置，然后联立对应直线方程求解出点坐标.

【详解】对于A：设点关于直线的对称点为，所以，所以，所以，

所以，当且仅当为与交点时满足题意，

又因为，即，

所以，所以，所以，故A正确；

对于B：设，所以，

所以，当且仅当时有最小值，

此时，所以，故B正确；

对于C：如下图，根据与的位置关系可判断出有最大值，无最小值，故C错误；

??

对于D：因为，取等号时，即为垂直平分线与的交点，

因为垂直平分线方程为，即，

所以，所以，所以，故D正确；

故选：ABD.

8．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为.

【答案】

【分析】变形得到方程组，求出定点坐标.

【详解】令，解得，故经过定点坐标为.

故答案为：

9．对任意的实数，圆上一点到直线的距离的取值范围为.

【答案】

【分析】根据直线方程先求出直线所过的定点，然后考虑直线经过圆心，圆心与定点的连线垂直直线，结合直线与圆的位置关系确定出的取值范围.

【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，

直线方程可化为，

令解得，所以直线过定点，

显然当直线与圆相切或相交时，取最小值且，

不妨令直线过原点，将代入，此时，

设圆心到直线的距离为，当直线与垂直时，取得最大值，下面证明：

当与直线垂直时，记为直线，

当不与直线垂直且直线不经过时，记为直线，

过作交于点，如下图所示，

由图可知为直角三角形，且为斜边，所以，

所以取最大值时，与直线垂直时，

故，，

但此时的方程为，即为，

此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，

所以，

故答案为：

考点二、直线方程的综合应用

1．已知的三个顶点是，，．

(1)求边上的中线的直线方程；

(2)求边上的高的直线方程

(3)求AC边的垂直平分线

【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为，

又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为，

整理得：.

（2），，则，所以边上的高的直线的斜率为，

又，则边上的高的直线方程为，

整理得：．

（3）因为，，则其中点坐标为，

而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：，

即.

2．已知直线．

(1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程；

(2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程．

【详解】（1）由题意设直线的方程为:，

由直线经过得:，解得:，

直线的方程为:，即.

（2）由题意设直线的方程为:，

令，则;令，则，

所以直线两坐标轴围成的三角形的面积