2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块15-圆锥曲线.docxVIP

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1、椭圆

○温馨提示

1.椭圆标准方程的形式是:左边是“平方”+“平方”,右边是1.

2.椭圆的标准方程中,x2与y

3.方程x2a

+x

4.只有以椭圆的中心为原点,焦点所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,这样得到的椭圆方程才是椭圆的标准方程.

当A=

模块十五：圆雉曲线

椭圆的定义

1.椭圆的定义

我们把平面内与两个定点F1,F

设点M是椭圆上的任意一点,点F1,F2是椭圆的焦点,则由椭圆的定义知,椭圆可以视为动点M的集合P

2椭圆的方程

1.椭圆的标准方程

定义

P

图形

标准方程

x

y

焦点

F

F

a,

a

2.椭圆的一般方程

当ABC≠0时,方程Ax

可以看出方程Ax2+By2=C表示椭圆的充要条件是ABC≠

1)与椭圆x2a

y

●椭圆的范围

1.从椭圆的方程或图形中可以直接看出它的范围.

2.在处理椭圆的一些参数问题或最值问题时要注意x,

●知识拓展

若F1,F2是椭圆的焦点,P是椭圆上与F1,F2不共线的一点,在△F

○名师点睛

1.圆和椭圆是两种不同的曲线,圆不是椭圆的特殊情况.

2.椭圆的扁平程度仅由离心率e的大小确定,与椭圆的焦点位置无关.2)与椭圆y2a2+x2b2=

与椭圆x2a2+y2b2=1a

3椭圆的几何性质

标准方程

x

y

范围

x

x

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点坐标

±

±

半轴长长半轴长为a,短半轴长为b

离心率e

椭圆的离心率

1.椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率,用e表示,即

=

2.离心率的取值范围:0

3.离心率对椭圆形状的影响:

1)e越接近1,c就越接近a,从而

2)e越接近0,c就越接近0,从而b就越接近

4.e与a,b

=1

解析要使椭圆C上存在点P,使∠F1PF2=120

根据椭圆的对称性,

在Rt△POF2中,∠

则tan∠OPF2=OF2OP≥3,即cb≥3,则c≥3b,所以

○温馨提示

x

y

○焦点三角形图形

椭圆的通径及有关最值

1.通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得

的线段称为椭圆的通径,其长为2b

2.最值a?

1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点,到中心距离最大的点是长轴的两个端点.

2)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点,距离的最大值为a+c,距离的最小值为

3)对于椭圆上的点P,∠

P从长轴端点向短轴端点移动而逐渐变大,当点P在短轴端点处时,∠F

4)b

-PF

例已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a

6关于椭圆的几个重要结论

1.弦长公式可以直接求出两交点坐标,利用两点间距离

设直线与椭圆交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,则公式求

1)P为椭圆x2a2+y2b2=1a

2)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则

3)过焦点F1的弦AB与椭圆另一个焦点F2构成的△AB

椭圆x2a2+y2b2=1ab

○知识拓展

设A、B是椭圆x2b2+y2a2=1a

4.点与椭圆的位置关系

对于椭圆x2a2+y2b2=1a

椭圆上?x02a2

5.椭圆中斜率乘积为定值的问题

1)椭圆x2a2

2)设A,B是椭圆x2a2+y

为k1,k

2、双曲线

双曲线的定义

1.双曲线的定义

一般地,平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1

双曲线上任一点到

焦点的距离不相等

温馨提示

当PF1?PF

当PF1?PF

注:(1)若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;(2)若

设点M是双曲线上任意一点,点F1,F2是双曲线的焦点,则由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点M的集合P={

2双曲线的标准方程和几何性质

○温馨提示

标准方程

x

y

范围

x

y

焦点

F

F

顶点

A

A

对称性

关于x轴、y轴对称,关于原点对称

线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长A1A2=

焦距

焦距F1F2

离心率

e

渐近线方程

y

y

1.双曲线的标准方程中,x2与y

2.只有以双曲线的中心为原点,且以两定点所在直线、两定点的连线段的中垂线为坐标轴建立平面直角坐标系,这样得到的双曲线的方程才是双曲线的标准方