第八章　培优点11　阿基米德三角形-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版.pdf

培优点11阿基米德三角形

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．如图．

性质1阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴．

性质2若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直

线，该直线与以C点为中点的弦平行．

性质3若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定

cbp

，－

点(若直线l方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为Caa.

3

a

性质4底边AB为a的阿基米德三角形的面积最大值为.

8p

性质5若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形

2

的面积最小，最小值为p.

2

例(多选)(2023·南平模拟)过抛物线y＝2px(p0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A，B

两点，M为弦AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l，l，l，l相交于点P.下面

1212

关于△PAB的描述正确的是()

A．点P必在抛物线的准线上

B．AP⊥PB

2

C．设A(x，y)，B(x，y)，则△PAB的面积S的最小值为p

1122

2

D．PF⊥AB

答案ABD

2

解析先证明出抛物线y＝2px(p0)在其上一点(x，y)处的切线方程为yy＝px＋px.

0000

证明如下：

22

由于点(x，y)在抛物线y＝2px上，则y＝2px，

0000

2

y＝2px，

2

联立可得2yy＝y＋2px，

00

yy＝px＋px，

00

22

即y－2yy＋y＝0，Δ＝0，

00

2

所以抛物线y＝2px(p0)在其上一点(x，y)处的切线方程为yy＝px＋px.

0000

p

如图所示．设A(x，y)，B(x，y)，直线AB的方程为x＝m