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课题
二次函数专题7:平行四边形存在性问题
教学内容
【方法梳理】
1.求作平行四边形的方法:
(1)三定顶点,一动顶点:如图①,分别过A,B,C三个定点作对边的平行线,三条所作直线的交点P即为所求动点;
(2)两定顶点,两动顶点:
①如图②,若AB为平行四边形的边,平移AB,确定另外两点位置;
②如图③,若AB为平行四边形的对角线,取AB中点,作过中点的直线确定另外两点的位置.
2.求点坐标常用方法:
(1)平移法:如图④,由点B平移到点A的规律即得到点C平移到D1的规律;(点C到点D同理)
(2)顶点坐标公式法:设平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则xA+xC=xB+xD,yA+yC=yB+yD,即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.
【方法突破】
1.如图,已知平面上不共线的三点A,B,C,在平面内确定一点P,使得以A,B,C,P为顶点的四边形是平行四边形.请在图中画出符合要求的点P,保留作图痕迹并写出作图过程.
2.如图,点A,B在正方形网格的格点上,请找出两组格点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.
3.如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(3,2),C(0,4)三点,在平面内确定一点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形,求点D的坐标.
4.如图,平面直角坐标系中,直线l:y=?43x+4与y轴交于点B,直线l2:y=23x?2与y轴交于点C,且两直线交于x轴上的A点.若点P是直线l
5.如图,抛物线y=-x2+x+154
6.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.点D为抛物线上一动点,在抛物线的对称轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【设问进阶】
例:如图,抛物线y=-x2-3x+4与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点C.直线l:y=4
(1)点F为y轴上一点,若四边形CDEF为平行四边形,求点F的坐标;
(2)在平面内存在一点G,使得以A,C,D,G为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形,求点G的坐标;
(3)已知点H为直线l与x轴的交点,点M是抛物线对称轴上一点,点N是抛物线上一点,是否存在点N,使以B,H,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若直线l与抛物线的另一交点为F,点P是抛物线上一点,点Q为平面内一点,当四边形FCPQ为平行四边形,且面积为某值时,符合题意的点P恰好有三个,求点P的坐标;
(5)如图⑤,将该抛物线向右平移,平移后的新抛物线与原抛物线相交于点C,与x轴交于J,K两点,且新抛物线的对称轴与x轴交于点L,平面内是否存在点S,使得以C,L,K,S为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
【综合强化】
1.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(3,0),C两点,与y轴相交于点B(0,-3),点M为直线AB上的点.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)若∠AOM=∠ABC,求AM的长;
(3)(y轴上的动点)在(2)的条件下,点E是y轴上一点,在抛物线上是否存在点F,使得以A,M,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,抛物线y=ax2?9
(1)求抛物线的解析式;
(2)点C关于x轴的对称点为C′,求C′E+3
(3)(x轴上的动点+抛物线上的动点)若点F在抛物线上,是否存在点F,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是以AC为一边的平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
课题
二次函数专题8:菱形存在性问题
教学内容
【方法梳理】
1.求作菱形的方法:
A,B为定点,C为直线l上一点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作菱形.
(1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点A,C作BC,AB的平行线交于点D;
如图②,以点A为圆心,AB长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D;
(2)若AB为菱形的对角线,如图③,作AB的垂直平分线交直线l于点C,交AB于点O,再以点O为圆心,以OC长为半径作⊙O,与垂直平分线交于点D.
2.求点坐标常用方法:
(1)定线段是边时,先设点,再根据边相等列方程求解;
(2)定线段
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