《三角形》的前世与来生.pdfVIP

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第9章三角形

本章介绍了三角形的有关概念,探究并证明了三角形内角和定理及其推论,分别从边和角两个

方面对三角形进行了分类,渗透了分类讨论的数学思想方法.同时,本章也对三角形的角平分线和中

线的性质进行了适当的渗透.

三角形是最基本的几何图形之一,它既在现实生活中有着广泛地应用,同时又是几何知识体系

中的基本内容,对进一步研究其他几何图形发挥着重要作用.

相关概念三角形及其顶点边角

三边之间的关系

三

角性质三角形内角和定理

形内角与外角之间的关系

主要线段三角形的角平分线中线高线

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第9章三角形

※1.三角形的边

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.所谓“首尾顺次相接”

是说,每一条线段均有两个端点,不妨把一端点看作“首”,另一端点看作“尾”,则第一条线段之

尾与第二条线段之首相接（即两个端点重合,象焊接在一块那样儿）,第二条线段之尾与第三条线段

之首相接,同时,第三条线段之尾与第一条线段之首相接,此时三条线段围成一个封闭的图形,即三

角形.

C

ba

AcB

如图,线段AB(c),BC（a）,CA（b）叫做三角形的边;点A,B,C叫做三角形的顶点;∠A,∠B,

∠C叫做三角形的（内）角;以点A,B,C为顶点的三角形记作△ABC.

结合“两点之间,线段最短”,容易知道：AC+BCAB,BA+CABC,CB+ABCA,即“三角形的

任意两边之和大于第三边”;结合后续将会学到的不等式的基本性质『*10』,还可以根据三个关系

变形得到：AB-ACBC,AB-BCAC;BC-BACA,BC-CABA;CA-CBAB,CA-ABCB,即“三角形

的任意两边之差小于第三边”.这些便是三角形的三条边之间的数量关系,其根本是作为“线段公

理（两点之间,线段最短）”在三角形中的应用和推广,加之不等式的基本性质的运用.

以三边长之间的比较为标准对三角形分类,是这样的：三边互不相等的三角形叫做不等边三角

形;两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边;把三边都相等的特殊

的等腰三角形叫做等边三角形.

三条线段构成三角形的条件的探究：

把两根木棍CA,CB的一端C用钉子钉在一起,使之能够转动,另一端点A,B用橡皮筋连接起来,

转动木棍,调整∠ACB的大小,感受线段AB长度的变化：当点B在线段AC上时,AB最短,此时

||

AB=b-a=−,三条线段AB,BC,CA构不成三角形;当点B在AC的延长线上时,AB最长,此时

AB=a+b,三条线段AB,BC,CA也构不成三角形.除此之外,当点B在直线AC外时,三条线段

||

AB,BC,CA一定能构成三角形,此时AB满足的条件是−+.

等将来我们学习了不等式『*10』的相关知识,就会发现,其实它就是三个条件

“a+bx,a+xb,b+xa”的简化而已：

||

若a≥b,则−+变为−+,即a+bx,b+xa,而由a≥b容易得a+xb;

||