数学解题真经(七)“解题表”与化归思想的联系

数学家瓦尔登在1952年苏黎世大学的会议上说：“每个大学生，每个学者，特别是每个教师应当读这本引人入胜的书。”此书就是波利亚（G. Polya） 4 个步骤。第一，弄清问题；第二，拟定计划；第三，实现计划；第四，回顾。其中最困难的阶段是“拟定计划”。P olya 指出：如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题，你能不能提出一个更容易着手的问题，一个更普遍的问题，一个更特殊的问题…… P olya 给出的“解题表”是对解题的操作过程的真实写照，他的核心思想就是不断地变换问题，简化问题，其实质就是题变化归。 Polya 的思想重点在变换问题的结论，而题变化归不仅包含了问题结论的转化，而且还包含着综合加工处理问题的信息，进一步转化为另一项新信息。另外， Polya 虽然提出了“变换问题”，却未说明为什么要变换问题，为什么不同的人有不同的变换策略，是什么在驱使解题者作出这些变换，“一个易于着手的问题”或“与它有关的问题”隐藏在哪里，并非想找就一定能得到。显然，他忽视了人的认知结构。所以，我们只能通过题变化归对问题的信息进行综合加工，利用新信息来探求解答的思路或子方案。 例 在 中，已知， ，试判断 的形状？ 此题有两项信息：①关于 的边与角的关系式；②探求 的形状。按 Polya 的解题思想：“不断地变换问题、简化问题”，就应当先解决一个“与此有关的问题或先解决一个易于着手的问题。”我们想，问题的结论是“判断 的形状”，这个问题该怎样变换？与此相关的问题是什么？易于着手的问题又在哪里？这些问题都难以寻找，因为我们不知道 是什么形状。回顾信息①，这一关系式中也看不到一点能够反映三角形形状特征的影子。对此，我们首先不是去转化问题的结论，而是对问题的条件信息进行处理，将信息清晰、更新。 解 (1) 所以 (2) 即 （ 3 ） 所以 （ 4 ） 从而 （ 5 ） 从 (1) 到 (2) 和 (3) 到 (4) 我们采取了化角为边的形变化归策略（至于想到化角为边这一策略，这是受寻旧思想的指导）。因为，根据我们的解题经验，判定三角形形状这一类问题，其结果通常都是一些特殊的三角形，如等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。而这些三角形的特征可以通过边的关系来实现，也可以通过角的关系来刻划。所以，可以把信息①边角关系转化为边的关系或角的关系。 (2) 到 (3) 、 (4) 到 (5) 过程中的恒等变形是形变化归，通过上述 (1) 到 (5) 一系列形变化归的处理，旨在寻找一个只有边的关系式，使问题的条件信息得到清晰和更新，但这一系列形变化归后问题信息却发生了质的变化，新信息 (5) 已是我们非常熟悉的一项知识经验（勾股定理），清楚地展示了直角三角形的形状特征。因此它又是题变化归。 总之，题变化归并非仅仅是“变换问题、简化问题”。不但要求转化问题的结论，而且还有综合加工信息的含义。题变化归总是由形变化归引路而展开的，但题变化归又比形变化归要深刻得多，在加工信息过程中有质的飞跃，完全可以得出新信息和新的过渡性问题，这对问题解决有着牵线搭桥的作用。 嘉兴数学资源网 整理编辑 第 34 页