2003年数学四试题_考研数学真题及解析.doc

2003年考研数学（四）试题 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限= - . （2）= - . （3）设a0，而D表示全平面，则= - . （4）设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=,则 = - . （5）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中A的逆矩阵为B，则a= - . （6）设随机变量X 和Y的相关系数为0.5, EX=EY=0,, 则= . 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）曲线 (A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线. (C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ ] （2）设函数，其中在x=1处连续，则是f(x)在x=1处可导的 (A) 充分必要条件. （B）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ ] （3）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是 (A) 在处的导数等于零. （B）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ ] （4）设矩阵 . 已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于 (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ ] （5）对于任意二事件A和B (A) 若，则A,B一定独立. (B) 若，则A,B有可能独立. (C) 若，则A,B一定独立. (D) 若，则A,B一定不独立. [ ] （6）设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则 (A) X与Y一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X与Y未必独立. (D) X+Y服从一维正态分布. [ ] 三 、（本题满分8分） 设 试补充定义f(0),使得f(x)在上连续. 四 、（本题满分8分） 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求 五 、（本题满分8分） 计算二重积分 其中积分区域D= 六、（本题满分9分） 设a1，在内的驻点为 问a为何值时，t(a)最小？并求出最小值. 七、（本题满分9分） 设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点. 若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式. 八、（本题满分8分） 设某商品从时刻0到时刻t的销售量为， 欲在T 时将数量为A的该商品销售完，试求 t时的商品剩余量，并确定k的值； 在时间段[0，T]上的平均剩余量. 九、（本题满分13分） 设有向量组（I）：，，和向量组（II）：，， 试问：当a为何值时，向量组（I）与（II）等价？当a为何值时，向量组（I）与（II）不等价？ 十、（本题满分13分） 设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，其中是矩阵A的伴随矩阵. 试求a,b和的值. 十一、（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为 F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数. 十二、（本题满分13分） 对于任意二事件A 和B，， 称做事件A和B的相关系数. 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零； 利用随机变量相关系数的基本性质，证明 1