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3高等数学同济五版各章习题答案PDF.pdf
习题 3− 1
π π 5
1. 验证罗尔定理对函数y ln sin x 在区间[ , ] 上的正确性.
6 6
π π 5 π π 5 π π 5
解 因为 y ln sin x 在区间[ , ] ( , ) y y) ( ( )
上连续, 在 内可导, 且 , 所以由
6 6 6 6 6 6
π π 5
罗尔定理知, 至少存在一点ξ ∈( , ) , 使得y ′(ξ) cot ξ 0.
6 6
π π π 5
由y ′(x) cot x 0 得 ∈( , ) .
2 6 6
π π π 5
因此确有ξ ∈ ( , ) , 使y ′(ξ) cot ξ 0.
2 6 6
2. 验证拉格朗日中值定理对函数y 4x3 2
−5x +x−2 在区间[0, 1]上的正确性.
解 因为y 4x3 2
−5x +x−2 在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至
(y1) (y0) −
′
少存在一点ξ ∈(0, 1), 使(y )ξ 0 .
1 0−
由y ′(x) 12x2 5 13±
− 10x+ 1 0 得x (0 ,∈1) .
12
5 13± (y1) (y0) −
′
因此确有 (y )
ξ (0 ,∈1) , 使 ξ .
12 1 0−
π
[0 , ] 上验证柯西中值定理的正确性.
3. 对函数f (x) sin x 及 F(x) x +cos x 在区间
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