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北京大学 2001 年数学分析考研试题解答
2n
2n a
一、解 当| a| 1 时,有lim a = 0 ,于是lim 2n = 0 ;
n→∞ n→∞ 1+ a
2n a2n 1
当 | a|= 1 时,有lim a = 1 ,于是lim 2n = ;
n→∞ n→∞ 1+ a 2
−2 n a2n 1
当| a| 1 时,有lim a = 0 ,于是lim 2n = lim −2n = 1 。
n→∞ n→∞ 1+ a n→∞ 1+ a
1 1
′
f (a + ) 1 1 f (a + ) − f (a) f (a )
二、解 lim( n )n = lim(1+ n )n = ef (a ) .
n→∞ f a n→∞ n f a 1
( ) ( )
n
′ 1 1 1 1 1 1
f x = lnx + x = lnx +
三、证明 ( ) 2 x x 2 x x ,
显然 ′
f (x) 在 1,+∞ ) 上有界,
[
于是f (x) 在 1,+∞ ) 上一致连续。
[
四、证明 对任意 (x, y) ∈D上可微,设g(t) = f (txty, ) ,
′ ∂f ∂f 1 ∂f ∂f
则有g (t) = x + y = (tx + ty ) = 0 ,
∂x ∂y t ∂x ∂y
′
f (x,y ) − f (0,0) = g (1) −g (0) = g (ξ ) = 0 ,
故有f x,y 在D上恒为常数。
( )
2 2
五、解 所截得的曲面 Σ 为: z = x + y ,
2 2 a
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