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北京大学 2002 年数学分析考研试题解答 1 sin x 1− cosx 一、解 因为lim   x→0  x  sin x−x  x x(1−cos x) − = lim 1+ sin x− x sin x x  ，   → x 0  x     sin x− x cos x− 1 lim = lim x→0 x(1− cos x) x→0 (1− cos x) + xsin x − sin x 1 = lim = − ， x→0 sin x+ sin x+ xcos x 3 1 1 sin x 1− cosx − 所以lim   = e 3 。 x→0  x  a 1 x ≥ 0 x = a+ x n1=,2, x 二、设 ， 1 ， n+1 n ， ，求lim n . 4 n→∞ 解 因为 | x − x| |= a+ x − a+ x | n+1 n n n−1 1 1 = | x − x | ≤ | x − x | ，n2=,3, ， n n−1 n n−1 a+ x + a+ x 2 a n n−1 于是得{x }是收敛的，设lim x = A，显然A ≥ a ； n n n→∞ 在 x = a+ x 两边令 n→ ∞ 取极限得到 A= a+ A ， n+1 n 2 1± 1+ 4a 1+ 1+ 4a 从而 A − A− a= 0 ，解得A = ，因为A ≥ a ，故A = . 2