北京大学2005年数学分析考研试题.pdf

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北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 2 x sin x − 1 1. 设f (x) = 2 sin x ,试求lim sup f (x) 和 lim inf f (x) . x − sin x x→+∞ x→+∞ ′ 2. (1)设f (x) 在开区间(a,b) 可微,且f (x) 在(a,b) 有界。证明f (x) 在(a,b) 一致连续。 ′ (2) 设f (x) 在开区间(a,b) (−∞ a b +∞) 可微且一致连续,试问f (x) 在(a,b) 是否一定有界。(若肯定回答,请证明;若否定回答,举例说明) 2 2 3 .设f (x) = sin (x +1) . (1)求f (x) 的麦克劳林展开式。 (n) (2)求f (0) 。(n1,=2,3 ) 2 4 .试作出定f (x,y) 义在R 中的一个函数f (x,y) ,使得它在原点处同时满足以下三个条 件: (1)f (x,y) 的两个偏导数都存在;(2 )任何方向极限都存在;(3 )原点不连续 2 2 2 2 5 .计算 x ds .其中L 是球面x + y + z = 1与平面x+ y + z = 0 的交线。 ∫L 6 .设函数列{f (x)} 满足下列条件:(1)∀n ,f (x) 在[a,b] 连续且有f (x) ≤ f (x) n n n n+1 (x∈ [a,b] ) (2 ){f (x)} 点点收敛于[a,b] 上的连续函数s(x) n 证明:{f (x)} 在[a,b] 上一致收敛于s(x) n

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