南开大学2000年数学分析考研试题解答.pdf

南开大学 2000 年数学分析考研试题  x+ y sin xy ( ) ( ) , , 0,0 x y ≠  2 2 ( ) ( ) 1. 设f x,y = x + y ， ( )   0， x, y = 0,0  ( ) ( ) 证明f x,y 在点 0,0 处连续，但不可微. ( ) ( ) ′ 2. 设f u 具有连续的导函数，且 lim f u = A 0 ， R 0 ， ( ) ( ) ( ) u→+∞ 2 2 2 D = x, y : x + y ≤ R , x, y ≥ 0 {( ) } （1）证明 lim f u = +∞ ； ( ) u→+∞ ′ 2 2 = + （2）求I f x y dxdy ； R ∫∫ ( ) Dd I lim R . （3）求 2 R→+∞ R 3.（1）叙述f x 于区间I 上一致连续的定义； ( ) （2）设f x ，g x 都于区间I 上一致连续且有界， ( ) ( ) 证明F x = f x g x 也 I 上一致连续， ( ) ( ) ( ) 4.设函数列 f x 于区间I 上一致收敛 f x ，且存在数列 a ，使得当x∈ I 时， { n ( )} ( ) { n} 总有 f x ≤a ，证明f x I 上有界. n ( ) n ( ) n 5.设a 0 ， n= 1,2, ，S = a ， n ( ) n ∑ k k=1 ∞ ∞ a 证明 （1）若 n 收敛，则 a 也收敛. ∑ ∑ n n=1 Sn