南开大学2000年数学分析考研试题解答.pdf

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南开大学 2000 年数学分析考研试题  x+ y sin xy ( ) ( ) , , 0,0 x y ≠  2 2 ( ) ( ) 1. 设f x,y = x + y , ( )   0, x, y = 0,0  ( ) ( ) 证明f x,y 在点 0,0 处连续,但不可微. ( ) ( ) ′ 2. 设f u 具有连续的导函数,且 lim f u = A 0 , R 0 , ( ) ( ) ( ) u→+∞ 2 2 2 D = x, y : x + y ≤ R , x, y ≥ 0 {( ) } (1)证明 lim f u = +∞ ; ( ) u→+∞ ′ 2 2 = + (2)求I f x y dxdy ; R ∫∫ ( ) Dd I lim R . (3)求 2 R→+∞ R 3.(1)叙述f x 于区间I 上一致连续的定义; ( ) (2)设f x ,g x 都于区间I 上一致连续且有界, ( ) ( ) 证明F x = f x g x 也 I 上一致连续, ( ) ( ) ( ) 4.设函数列 f x 于区间I 上一致收敛 f x ,且存在数列 a ,使得当x∈ I 时, { n ( )} ( ) { n} 总有 f x ≤a ,证明f x I 上有界. n ( ) n ( ) n 5.设a 0 , n= 1,2, ,S = a , n ( ) n ∑ k k=1 ∞ ∞ a 证明 (1)若 n 收敛,则 a 也收敛. ∑ ∑ n n=1 Sn

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