南开大学2001年数学分析考研试题解答.pdf

南开大学 2001 年数学分析考研试题解答 2 2 2 2 1.计算三重积分 x + y dxdydz ，其中Ω 为由曲面x + y = z 与平面z = 4 为界 ∫∫∫( ) Ω 面的区域. π π sin y 2.计算 2 2 . dx x dy ∫ ∫ 0 x y  y  x x2 y2 3.计算I = − y dx− dy ，L 为椭圆 + = 1，方向为正. ∫ 2 2  2 2 L x + y  x + y 9 4 4.设 a 为一数列，满足lim na = a ，a 0 ， { n} n n→∞ ∞ （1）证明 a2 收敛； ∑ n n=1 ∞ （2）能否确定 a 的敛散性？说明理由. ∑ n = n 1 ′ 5.设f x 于 a,+∞ 上可导，且f x ≥c 0 ，（c为常数）证明（1）lim f x = +∞ ； ( ) [ ) ( ) ( ) x→+∞ （2)f x 于 a,+∞ 上必有最小值. ( ) [ ) 6.设f x 于 0, +∞ 上有定义，对任意实数A 0 ，f x 于 0, A 上可积，且 ( ) [ ) ( ) [ ] 1 x lim f x =l ，(l为有限数）证明 lim f t dt =l . x→+∞ ( ) x→+∞ x ∫0 ( ) 7.设0 ≤ x +∞ ，0 y +∞ 时，f x,y 连续且有界， ( ) +∞ − xy δ ， xe f x, y dx 于 δ , +∞ 上一致收敛； 证明 （1）对任意整数 ∫0 ( ) (