南开大学2001年数学分析考研试题解答.pdf

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南开大学 2001 年数学分析考研试题解答 2 2 2 2 1.计算三重积分 x + y dxdydz ,其中Ω 为由曲面x + y = z 与平面z = 4 为界 ∫∫∫( ) Ω 面的区域. π π sin y 2.计算 2 2 . dx x dy ∫ ∫ 0 x y  y  x x2 y2 3.计算I = − y dx− dy ,L 为椭圆 + = 1,方向为正. ∫ 2 2  2 2 L x + y  x + y 9 4 4.设 a 为一数列,满足lim na = a ,a 0 , { n} n n→∞ ∞ (1)证明 a2 收敛; ∑ n n=1 ∞ (2)能否确定 a 的敛散性?说明理由. ∑ n = n 1 ′ 5.设f x 于 a,+∞ 上可导,且f x ≥c 0 ,(c为常数)证明(1)lim f x = +∞ ; ( ) [ ) ( ) ( ) x→+∞ (2)f x 于 a,+∞ 上必有最小值. ( ) [ ) 6.设f x 于 0, +∞ 上有定义,对任意实数A 0 ,f x 于 0, A 上可积,且 ( ) [ ) ( ) [ ] 1 x lim f x =l ,(l为有限数)证明 lim f t dt =l . x→+∞ ( ) x→+∞ x ∫0 ( ) 7.设0 ≤ x +∞ ,0 y +∞ 时,f x,y 连续且有界, ( ) +∞ − xy δ , xe f x, y dx 于 δ , +∞ 上一致收敛; 证明 (1)对任意整数 ∫0 ( ) (

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