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南开大学2003年数学分析考研试题解答B.pdf
一、设 w= f (x+ y,x− y,x) 其中f (x,y,z) 有二阶连续偏导数,求w
xy
解 : 令 u=x+y,v=x-y,z=x 则 w = f + f + f ;
x u v z
w = f + f (−1) + f + f (−1) + f + f (−1)
xy uu uv vu vv zu zv
1
n n n n
二、设数列{a }非负单增且 lim a = a,证明 lim [a + a + + a ] = a
n n 1 2 n
n→∞ n→∞
1 1
n n n n n n
解:因为 an 非负单增,故有a ≤ [a + a + + a ] ≤ (na )
n 1 2 n n
lim a = a;据两边夹定理有极限成立。
n
n→∞
α 2
x ln(1+ x ),x 0
三、设f (x) = 试确定α 的取值范围,使 f(x)分别满足:
0, x ≤ 0
lim f ( x )
(1) 极限 x → 0 + 存在
(2 ) f(x)在 x=0 连续
(3 ) f(x)在 x=0 可导
解:(1)因为
lim f ( x )
x → 0 +
4 2n
α 2 α 2 x n−1 x 2n
= lim x ln(1+ x ) = lim [ ( 1) o(x )] 极
x x − + + − +
x→0+ x→0+ 2 n
限存在则2+α ≥ 0 知α ≥ − 2
(2)因为 lim f ( x ) =0=f(0)所以要使 f(x)在 0 连续则α −2
x → 0 −
′
(3 )f(0) = 0 所以要使 f(x)在 0 可导则α
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