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南开大学2005年数学分析考研试题答案.pdf
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2005 年南开大学数学分析试题答案
1.由于D关于x轴对称,被积函数关于y 成奇函数,所以该积分为0
∂y ∂z
g x +g y +g z 0
du ∂y ∂z y z
∂ ∂ ∂x ∂x
2. f x +f y +f z ,其中 , 由 求出
dx ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z
h +h +h 0
x y ∂x z ∂x
∂y h g −h g ∂z h g −h g
x z z x x y y x
,
∂x g y hz −g z hy ∂x g y hz −g z hy
1 n 1 1 dx 3 π
3. lim ∑ ∫ +
n→∞ n k 1 k 2 0 4 −x 2 2 3
4 −( )
n
M 1
4. ∫ sin tdt ≤2, 在x ∈(0,+∞) 上单调一致趋于 0,则f (x) 在x ∈(0,+∞) 上一致收
0 x +t
sin t
敛,又 在x ∈(0,+∞) 上连续,则f (x) 在x ∈(0,+∞) 上连续。
x +t
1 1 1 eξ
5. 由 泰 勒 公 式 e 1+ + + + , 则
1! 2! n! (n +1)!
1 1 1 eξ e
e −1+ + + ≤ ,后者收敛,则原级数收敛。
1! 2! n! (n +1)! (n +1)!
1 x 1 x Mx M
6. 由拉格朗日中值定理, f ( ) f (ξ) ≤ ≤ , 后者收敛,由魏尔特拉斯
2 2
n n n n n n
定理,原级数一致收敛。
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