全国硕士研究生入学考试_理工类_数二历年真题

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数的可去间断点的个数，则（ ） 1. 2. 3. 无穷多个. （2）当时，与是等价无穷小，则（ ） . . . . （3）设函数的全微分为，则点（ ） 不是的连续点. 不是的极值点. 是的极大值点. 是的极小值点. （4）设函数连续，则（ ） . . . . （5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（ ） 有极值点，无零点. 无极值点，有零点. 有极值点，有零点. 无极值点，无零点. （6）设函数在区间上的图形为： 则函数的图形为（ ） . . . . （7）设、均为2阶矩阵，分别为、的伴随矩阵。若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ） . . . . （8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若 ，则为（ ） . . . . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）曲线在处的切线方程为 （10）已知,则 （11） （12）设是由方程确定的隐函数，则 （13）函数在区间上的最小值为 (14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限 （16）（本题满分10 分）计算不定积分 （17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与 （18）（本题满分10分） 设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。 （19）（本题满分10分）求二重积分， 其中 （20）（本题满分12分） 设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足。求的表达式 （21）（本题满分11分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。 （22）（本题满分11分）设， （Ⅰ）求满足的所有向量 （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关。 （23）（本题满分11分）设二次型 （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。 2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设，则的零点个数为（ ） 0 1. 2 3 （2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ） 曲边梯形ABOD面积. 梯形ABOD面积. 曲边三角形面积. 三角形面积. （3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ） （5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ） 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. （6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则 （7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. （8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ） . .. . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数连续，且，则. （10）微分方程的通解是. （11）曲线在点处的切线方程为. （12）曲线的拐点坐标为______. （13）设，则. （14）设3阶矩阵的特征值为.若行列式，则. 三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分9分）求极限. (16)（本题满分10分） 设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求. (17)（本题满分9分）求积分 . (18)（本题满分11分） 求二重积分其中 (19)（本题满分11分） 设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式. (20)（本题满分11分） (1) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一