2001年全国高中数学联合竞赛试题.doc

2001年全国高中数学联合竞赛试题（10月14日上午8：00　 9：40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．已知a为给定的实数，那么集合的子集的个数为（A） 1　　　　（B） 2　　　（C） 4　　　（D）不确定【答】（　　）2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点; 命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 　 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 （A） 0个　　 （B） 1个　　 （C） 2个　 （D） 3个 【答】（　　）3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在上单调递增的偶函数是　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答】（　 ） （A）　y=sin|x|　（B） y=cos|x|　（C）　y=|ctgx|　（D） y=lg|sinx| 4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是 （A）k=（B）0k≤12 （C） k≥12（D） 0k≤12或k= 【答】（　 ）5．若的展开式为，则的值为【答】（　） （A）　 　 （B） 　　（C） 　　（D） 　 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是【答】（　 ）（A）　 2枝玫瑰价格高　　　　　　　 （B）　 3枝康乃馨价格高 （C）　 价格相同　　　　　　　　　　（D）　 不确定 二、填空题（满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上． 7．椭圆的短轴长等于　　　　　　 ． 8．若复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，，则z1·z2=　　　　　 ． 9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是　　　　　 ． 10. 不等式的解集为　 　　　　． 11．函数的值域为　　　　　　 ． 12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有　　　　　　 种栽种方案．  三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．设为等差数列， 为等比数列，且， ，又．试求{an}的首项与公差． 14．设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P．求实数m的取值范围（用a表示）； O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）． 　 15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1a2a3a4a5a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论． 如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N． 求证：(1) OB⊥DF，OC⊥DE； (2) OH⊥MN． 二．（本题满分50分） 设（i=1，2，…，n）且，求的最大值与最小值． 三．（本题满分50分） 将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值． 2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 一．?? 选择题： 1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 二．填空题： 7． 8． 9．  10． 11． 12． 732 三．解答题： 13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得 化简得： 解得： ……………………………………………………… 5分 而，故a1＜0 若，则 若，则 ……………………………… 10分 但存在，故| q |＜1，于是不可能． 从而 所以 ……………………………… 20分 14．解：(1)由 消去y得： ① 设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况： 1°△＝0得：，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合； 2°f (a)f (