2011高考二轮复习文科数学专题八 3第三讲 分类讨

* 高考·二轮·数学（文科） 专题八　思想方法 第三讲　分类讨论思想 考点整合 分类讨论解决的主要问题 基础梳理 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 整合训练 1．设常数a＞0，椭圆x2－a2＋a2y2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a等于(　　) A．2或　　　B．2　　　C.　　　D. (2)函数y＝ 的值域是________． 解析：(1)方程化为 ＋y2＝1，若焦点在x轴上，则有a＝2；若焦点在y轴上，则有2a＝1，a＝ . 答案：(1)A　(2){－2,0,2} 分类讨论的多种类型 基础梳理 1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． 2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． 3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等． 4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等． 5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法． 6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 整合训练 2．(1)已知正△ABC的边长为3，到这个三角形的三个顶点距离都等于1的平面的个数是(　　) A．2 B．3 C．5 D．8 (2)若loga ＜1，则a的取值范围是________． 解析：(1)对三个顶点和平面的位置分类：在平面同一侧有2个，在平面的两则有6个． ∴共有2＋6＝8个． 答案：(1)D　(2) ∪(1，＋∞) 高分突破 根据数学的概念分类讨论 设0＜x＜1，a＞0，且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小． 思路点拨：先利用0＜x＜1确定1－x与1＋x的范围，再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系，从而比较出大小． 解析：∵0＜x＜1， ∴0＜1－x＜1,1＋x＞1,0＜1－x2＜1. ①当0＜a＜1时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0， 所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)| ＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)] ＝loga(1－x2)＞0； ②当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0. 所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)| ＝－loga(1－x)－loga(1＋x) ＝－loga(1－x2)＞0. 由①、②可知，|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|. 跟踪训练 1．(2009年北京理)若函数f(x)＝ 则不等式 |f(x)|≥ 的解集为________． 根据运算的要求或性质、定理、 公式的条件分类讨论 在等差数列{an}中，a1＝1，满足a2n＝2an，n＝1,2，… (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝ (p＞0)，求数列{bn}的前n项和Tn. 思路点拨：(1)由a2n＝2an，n＝1,2，…，求出公差d，即得{an}的通项公式． (2)先求{bn}的通项公式，然后用错位相减可求Tn，但由于公比q不确定，故用等比数列前n项公式求Tn时要分类讨论． 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由a2n＝2an得a2＝2a1＝2，所以d＝a2－a1＝1. 又a2n＝an＋nd＝an＋n＝2an， 所以，an＝n. (2)由bn＝ 得bn＝npn， 所以Tn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1＋npn. 当p＝1时，Tn＝ . 当p≠1时，pTn＝p2＋2p3＋…＋(n－1)pn＋npn＋1， (1－p)Tn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－npn＋1， 跟踪训练 2．