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金融经济学之四（2） 均值-方差偏好下的投资组合选择 武汉大学经济与管理学院 潘敏 三、两资产模型下的有效组合前沿 （一）先行案例 某投资者持有的投资组合由两个风险资产构成，两资 产的期望收益率和方差如下： 以下为设想的投资者在两种资产中投资比例及资 产相关系数不同时的投资组合的期望收益和方差： （二）相关概念 1.投资者均值-方差无差异曲线 对一个特定的投资者而言，任意给定一个证券组合，根据他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期望收益率对风险补偿的要求，可以得到一系列满意程度相同的（无差异）证券组合。所有这些组合在均值方差（或标准差）坐标系中形成一条曲线，这条曲线就称为该投资者的均值-方差无差异曲线。 同一条无差异曲线上的组合满意程度相同；无差异曲线 位置越高，该曲线上的组合的满意程度越高。 无差异曲线满足下列特征： (1)无差异曲线向右上方倾斜。 (2)无差异曲线是下凸的。 (3)同一投资者有无数条无差异曲线。 (4)同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异 曲线都不相交。 2.可行集 可行集也称资产组合的机会集合。它表示在收益和风险平面上，由多种资产所形成的所有期望收益率和方差的组合的集合。 可行集包括了现实生活中所有可能的组合，即所有可能的证券投资组合将位于可行集的内部或边界上。 一般说来，N种资产的可行集的形状像伞形： 3.有效集或有效前沿（边界） 可行集中有无穷多个组合，对于非饱和且风险厌恶的理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。 对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。能同时满足这两个条件的投资组合的集合被称为有效集（Efficient Set）或有效边界（Efficient Frontier)。 有效集描绘了投资组合的风险与收益的最优配置。 因为投资者是非饱和且厌恶风险的，即风险一定时追求收益最大，收益一定时追求风险最小。所以，同时满足在各种风险水平下，提供最大预期收益和在各种预期收益下能提供最小风险这两个条件就称为有效边界。即双曲线的上半部。上面各点所代表的投资组合一定是通过充分分散化而消除了非系统性风险的组合。 有效集的形状： 有效集曲线的形状具有如下特点： （1）有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险”的原则； （2）有效集是一条向左凸的曲线。有效集上的任意两点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用。 （3）有效集曲线上不可能有凹陷的地方。 有效集的导出： 资产组合的所有可能的点 构成了 平面上可行区域，对于给定的 ，使组合的方差越小越好，即 求解下列二次规划： （三）两资产模型下的资产组合前沿 1.相关假设 2.有效组合前沿 3.不同相关系数下的组合前沿 4.结论 （四）两资产模型下的最优资产组合选择 在确定了有效资产组合前沿后，投资者可根据自己的风险偏好，选择最优资产组合。投资者的风险偏好以均值-方差无差异曲线表示。 在投资者众多的无差异曲线族中，无差异曲线与有效组合前沿相切的切点代表的资产组合为最优资产组合。 该最优组合代表在投资者风险偏好给定条件下，风险一定情况下的收益最大或收益一定情况下的风险最小组合。 （见图） 四、加入无风险资产的有效组合前沿及组合选择 （一）基本假设 1.资产组合由一个无风险资产和两个风险资产构成。 2.无风险资产的收益率为r，风险资产的随机收益分别为 ， 3.不允许卖空（也可以允许卖空） （二）有效组合前沿 （三）最优投资组合 （二）分离定理 在存在无风险资产与多个风险资产的情况下，投资者在有关多个风险资产构成的资产组合的决策（投资决策）与无风险资产与风险资产构成的资产组合比例的决策（金融决策）是分离的。 多个风险资产构成的资产组合的最优选择依赖于所有资产的期望收益、方差、协方差和无风险资产的收益率，与投资者的风险态度无关；而在无风险资产与风险资产的投资组合决策方面，两者投资比例的选择依赖于投资者的风险态度。 如果所有的投资者对各风险资产收益率的分布具有相同的知识，且都为风险厌恶者，则所有投资者选择的最优风险资产组合相同。投资者在最优投资组合选择时只需决定无风险资产和合成的风险资产之间的最优投资比例。 四、N种资产的一般模型 （一）模型的基本假定 1.市场上存在n2种风险资产，w代表投