第二节采样控制系统的数学基础.ppt

第二节 采样控制系统的数学基础 一、Z 变换的定义 二、求Z 变换的方法 三、Z 变换的基本定理 四、Z 反变换 五、差分方程极其求解 第七章 采样控制系统分析 第二节 采样控制系统的数学基础 连续函数f(t)的拉氏变换为 离散函数： 一、Z变换的定义 f*(t )= + Σ 8 k=0 f(t )δ(t – kT ) = f (kT) δ(t – kT )e–stdt Σ 8 k=0 + ∫ ∞ 0 F (s) = f (t) e –st dt ∫ ∞ 0 对离散函数求拉氏变换 F*(s )= ∫ ∞ 0 + Σ 8 k=0 [ f(t )δ(t – kT )] e –st dt f(kT)e –kTS Σ 8 k=0 + = 引入新变量 e Ts z = 则 f (kT) z–k F (z)= Σ 8 k=0 + F(z)为f*(t)的Z变换，记作 F (z) = Z[ f *(t) ] 二、求Z变换的方法 1．级数求和法 根据定义式展开 = f (0)z0 + f (T)z-1 + f (2T)z-2 + f (3T)z-3 + ··· f (kT) F (z)= Σ 8 k=0 + 利用级数求和法可求得常用函数的z变换. 第二节 采样控制系统的数学基础 1 1 – z-1 = z z – 1 = f (kT) z-k = 1+ z-1 + z-2 + z-3 + ··· F (z)= Σ 8 k=0 + (1) 单位阶跃函数 f (t) = 1(t) f (kT) = 1(kT) =1 | z | 1 第二节 采样控制系统的数学基础 = 1+ e–aT z-1 + e–2aT z-2 + e–3aTz-3 + ··· | ze at | 1 z z – e–aT 1 1 – e–aT z-1 = = （2）指数函数 f (t) = e –at f (kT) z-k F (z)= Σ 8 k=0 + （3）单位脉冲函数 f (t)=δ(t ) = f (kT) z-k =1 F (z) Σ 8 k=0 + f (kT)=δ(kT ) f (kT)= e –akT 第二节 采样控制系统的数学基础 （4）单位斜坡函数 f (t) = t f (kT) = kT = Tz-1 + 2Tz-2 + 3Tz-3 + ··· Tz (z – 1 )2 Tz-1 (1– z-1 ) 2 = = | z | 1 = f (kT) z-k F (z) Σ 8 k=0 + 第二节 采样控制系统的数学基础 （5）正弦函数 f (t)=sinωt = e jωt -e– jωt 2 j e jωkT – e– jωkT 2 j f (kT) = 1 1 – e– jωT z-1 1 1 – e jωT z-1 – [ ] 1 2 j = = f (kT) z-k F (z) Σ 8 k=0 + z-1e jωT–z-1e–jωT 1–e jωTz-1–e–jωTz-1+z-2 [ ] 1 2 j = z-1sinωT 1–2(cosωT)z-1+z-2 = zsinωT z2–2zcosωT+1 = f (t)=cosωt z(z–cosωt ) z2–2zcosωT+1 F (z)= 同理： 第二节 采样控制系统的数学基础 2．部分分式展开法 pi— 极点 如果已知连续函数f(t)的拉氏变换为F(s) ，则可将F(s)展开成部分分式之和的形式，然后求F(z)。 设 b0sm+b1sm–1+···+bm sn–a1sn–1+···+an F (s)= nm Σ i=1 n Ai S– Pi = Ai— 待定系数 基于 Ai s–Pi ]= Z[ Ai 1–epiTz -1 Ai 1–e piTz -1 F (z)= Σ i=1 n 得 第二节 采样控制系统的数学基础 例 求F(s)的z变换F(z)。 解： 1 S(S+1) F (s)= 1 S(S+1) F (s)= = – 1 S 1 S+1 z(1–e –T ) (z–1)(z–e–T ) =